《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

+ 例3-6 $(x^2 - \frac{1}{x} + 1)^4$的展开式中常数项是

答案： 解析 原式可化为$[(x^2 - \frac{1}{x}) + 1]^4 = (x^2 - \frac{1}{x})^4 + C_4^1(x^2 - \frac{1}{x})^3 + C_4^2(x^2 - \frac{1}{x})^2 + C_4^3(x^2 - \frac{1}{x}) + 1$.
由于$(x^2 - \frac{1}{x})^n$展开式的通项为$T_{r + 1} = C_n^r x^{2n - 2r} (-\frac{1}{x})^r = (-1)^r C_n^r x^{2n - 3r}$,
令$2n = 3r$, 则当$n = 3$时, $r = 2$, 此时对应的项是$(-1)^2 C_3^2 = 3$,
故常数项为$3 × 4 + 1 = 13$.
答案 13

例7 （1）求$(2x-\frac {3}{2x^{2}})^{5}$的展开式.
（2）化简：$(x-1)^{5}+5(x-1)^{4}+10(x-1)^{3}+10(x-1)^{2}+5(x-1).$

答案： 解析▶（1）方法1 $(2x-\frac {3}{2x^{2}})^{5}=C_{5}^{0}(2x)^{5}· (-\frac {3}{2x^{2}})^{0}+$$C_{5}^{1}(2x)^{4}(-\frac {3}{2x^{2}})^{1}+C_{5}^{2}(2x)^{3}(-\frac {3}{2x^{2}})^{2}+$$C_{5}^{3}(2x)^{2}(-\frac {3}{2x^{2}})^{3}+C_{5}^{4}(2x)^{1}(-\frac {3}{2x^{2}})^{4}+C_{5}^{5}(2x)^{0}(-\frac {3}{2x^{2}})^{5}=$
$32x^{5}-120x^{2}+\frac {180}{x}-\frac {135}{x^{4}}+\frac {405}{8x^{7}}-\frac {243}{32x^{10}}.$
方法2 $(2x-\frac {3}{2x^{2}})^{5}=(\frac {4x^{3}-3}{2x^{2}})^{5}=\frac {1}{32x^{10}}(4x^{3}-3)^{5}=$
$\frac {1}{32x^{10}}[C_{5}^{0}(4x^{3})^{5}(-3)^{0}+C_{5}^{1}(4x^{3})^{4}(-3)^{1}+$$C_{5}^{2}(4x^{3})^{3}(-3)^{2}+C_{5}^{3}(4x^{3})^{2}(-3)^{3}+C_{5}^{4}(4x^{3})^{1}·$$(-3)^{4}+C_{5}^{5}(4x^{3})^{0}(-3)^{5}]=32x^{5}-120x^{2}+\frac {180}{x}-$
$\frac {135}{x^{4}}+\frac {405}{8x^{7}}-\frac {243}{32x^{10}}.$
（2）原式$=C_{5}^{0}(x-1)^{5}+C_{5}^{1}(x-1)^{4}+C_{5}^{2}(x-1)^{3}+$$C_{5}^{3}(x-1)^{2}+C_{5}^{4}(x-1)+C_{5}^{5}-1=[(x-1)+1]^{5}-$
$1=x^{5}-1.$
（将$(x-1)$看成一个整体）
（引入“1”，逆用二项式定理）

1.[教材改编 P88 T8]化简：$C_{n}^{0}2^{n}-C_{n}^{1}2^{n-1}+... +$$(-1)^{r}C_{n}^{r}2^{n-r}+... +(-1)^{n}C_{n}^{n}.$

答案： 1.$C_{n}^{0}2^{n}+(-1)^{1}C_{n}^{1}2^{n-1}+·s+(-1)^{r}C_{n}^{r}2^{n-r}+·s+(-1)^{n}C_{n}^{n}=C_{n}^{0}2^{n}+C_{n}^{1}·2^{n-1}·(-1)+C_{n}^{2}·2^{n-2}·(-1)^{2}+·s+C_{n}^{n-r}·2^{r}·(-1)^{n-r}+·s+C_{n}^{n}(-1)^{n}=[2+(-1)]^{n}=1$。

例8 [教材改编 P87 T1(3)](2025·广东省东莞市济川中学期中)$91^{92}$被100除所得的余数为
()

A.1
B.81
C.-81
D.92

答案： 解析▶$(90+1)^{92}=C_{92}^{0}· 90^{92}+C_{92}^{1}· 90^{91}+... +C_{92}^{90}·$$90^{2}+C_{92}^{91}· 90+C_{92}^{92}.$
前91项均能被100整除，最后两项的和为$92×90+1=8281$，显然8281除以100所得余数为81，故$91^{92}$被100除所得的余数为81.
答案▶B