《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

+例11 [传统文化 周髀算经] (2025·黑龙江省牡丹江市名校协作体月考)如图7.1-6为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图. 现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方案种数为.

答案： 解析 ▶ 根据题意,如图7.1-7,设5个区域依次为A,B,C,D,E,设4步进行分析.
(1)对于区域A,有5种颜色可选.
(2)对于区域B,与A区域相邻,有4种颜色可选.
(3)对于区域C,与A,B区域相邻,有3种颜色可选.
(4)对于区域D,E,若D与B颜色相同,E区域有3种颜色可选,若D与B颜色不相同,D区域有2种颜色可选,E区域有2种颜色可选,则区域D,E可选择的涂色方案种数为3+2×2=7.
故不同的涂色方案种数为5×4×3×7=420.
答案 ▶ 420

将如图7.1-8所示的四棱锥的每一个顶点染上1种颜色,并使同一条棱上的两个端点异色. 如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法种数为 ()


A.240
B.300
C.420
D.480

答案： 解析 ▶ 方法1 以S→A→B→C→D的顺序分步染色.
第1步,对S点染色,有5种方法.
第2步,对A点染色,A与S在同一条棱上,故有4种染色方法.
第3步,对B点染色,B与S,A分别在同一条棱上,故有3种染色方法.
第4步,对C点染色,但考虑到D点与S,A,C相邻,需要针对A与C是否同色进行分类. 当A与C同色时,D点有3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与S,B也不同色,所以C点有2种染色方法,D点也有2种染色方法.
由分步计数原理和分类计数原理得不同的染色方法种数为5×4×3×(3+2×2)=420.
方法2 第一类,5种颜色全用,不同的染色方法种数为5×4×3×2×1=120.
第二类,只用4种颜色,则必有某两个顶点同色(A与C或B与D),不同的染色方法种数为5×4×3×2+5×4×3×2=240.
第三类,只用3种颜色,则A与C,B与D必定同色,不同的染色方法种数为5×4×3=60.
(要满足要求,至少需要3种颜色染色)
由分类计数原理,得不同的染色方法种数为120+240+60=420.
答案 ▶ C

5. 如图7.1-9,正五边形ABCDE中,若把顶点A,B,C,D,E染上红、黄、绿三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同,则不同的染色方法共有 (A)


A.30种
B.27种
C.24种
D.21种

答案： 5.A先对A选一种颜色染色，有3种情况.
如果B，E颜色相同，有2种情况，这时D，C也有2种情况；如果B，E颜色不同，有2种情况，这时D，C共有3种情况.
所以共有3×(2×2+2×3)=30种方法.