《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例12 在长方体 $OAEB-O_1A_1E_1B_1$中，$OA = 3$，$OB = 4$，$OO_1 = 2$，点 $P$ 在棱 $AA_1$ 上，且 $AP = 2PA_1$，点 $S$ 在棱 $BB_1$ 上，且 $SB_1 = 2BS$，点 $Q$，$R$ 分别是棱 $O_1B_1$，$AE$ 的中点. 求证：$PQ// RS$.

答案：
解析 ▶ 如图6.3-17，建立空间直角坐标系，则 $A(3,0,0)$，$B(0,4,0)$，$A_1(3,0,2)$，$B_1(0,4,2)$.
根据点 $P$，$Q$，$R$，$S$ 在线段上的位置求得 $P(3,0,\frac{4}{3})$，$Q(0,2,2)$，$R(3,2,0)$，$S(0,4,\frac{2}{3})$，([剖析] 点 $P$ 在线段 $AA_1$ 的 $\frac{2}{3}$ 处(靠近点 $A_1$)，点 $Q$ 在线段 $O_1B_1$ 的中点处，点 $R$ 在线段 $AE$ 的中点处，点 $S$ 在线段 $BB_1$ 的 $\frac{1}{3}$ 处(靠近点 $B$))
于是 $\overrightarrow{PQ}=(-3,2,\frac{2}{3})$，$\overrightarrow{RS}=(-3,2,\frac{2}{3})$.
$\therefore \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{RS}$，$\therefore PQ// RS$.

$\because R \notin PQ$，$\therefore PQ// RS$.
([注意] 排除两直线重合)