《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例14 “赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一.某单位龙舟队组织了8名运动员参加今年端午节龙舟赛，其中3人只会划左舷，3人只会划右舷，其他2人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人参加划船比赛，则不同的选法共有 (C)

A.26种
B.30种
C.37种
D.42种

答案： 解析▶设集合$A=\{$只会划左舷的3人$\}$，$B=\{$只会划右舷的3人$\}$，$C=\{$既会划左舷又会划右舷的2人$\}$.
先分类，以集合$A$为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：
①$A$中有3人；②$A$中有2人，$C$中有1人；③$A$中有1人，$C$中有2人.
第①类情况中，由于划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合$B,C$中选3人，有$ C_{5}^{3}$种选法，同理可得第②③类情况的选法种数.
故不同的选法共有$ C_{3}^{3} C_{5}^{3}+ C_{3}^{2} C_{2}^{1} C_{4}^{3}+ C_{3}^{1} C_{2}^{2} C_{3}^{3}=37$(种).
答案▶C

例15 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为 (D)

A.1或3
B.1或4
C.2或3
D.2或4

答案： 解析▶设6位同学分别为$a,b,c,d,e,f$.若任意两位同学之间都进行一次交换，则进行交换的次数为$ C_{6}^{2}=15$，现共进行了13次交换，说明有２次交换没有发生，此时可能有两种情况：
①由3人构成的2次交换没有发生，如$a,b$之间和$a,c$之间没有发生交换，则收到4份纪念品的有$b,c$2人；
②由4人构成的2次交换没有发生，如$a,b$之间和$c,d$之间没有发生交换，则收到4份纪念品的有$a,b,c,d$4人.
答案▶D