《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例4-6 下列向量中，与向量 $\boldsymbol{a} = (0, 0, 1)$ 平行的向量为
()

A.$\boldsymbol{b} = (1, 0, 0)$
B.$\boldsymbol{c} = (0, 1, 0)$
C.$\boldsymbol{d} = (-1, -1, -1)$
D.$\boldsymbol{e} = (0, 0, -1)$

答案： 解析 ▶ 方法1 比较各选项中的向量，观察哪个向量符合 $\lambda\boldsymbol{a} = (0, 0, \lambda)$ 的形式，经过观察，只有 $\boldsymbol{e} = -\boldsymbol{a}$.
方法2 向量 $\boldsymbol{a} = (0, 0, 1)$ 的横、纵坐标都是 0，所以向量 $\boldsymbol{a} // z$ 轴，经过观察易得只有 $\boldsymbol{e} = (0, 0, -1)$ 的横、纵坐标也都是 0.
答案 ▶ D

例7 [教材改编 P20 T1]若$\{ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\} $为空间的一个基底,则下列各项中能作为基底的是 ()

A.$\{ \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c},2\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\} $
B.$\{ \boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b},3\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\} $
C.$\{ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\} $
D.$\{ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}\} $

答案：
C

学审题

解析▶因为$2\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}+(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$,所以$\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c},2\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$是共面向量,所以$\{ \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c},2\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\} $不能作为基底,故A错误；
因为$3\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}+2(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$,所以$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b},3\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$是共面向量,所以$\{ \boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b},3\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\} $不能作为基底,故 B 错误；
设$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{c}+y(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=y\boldsymbol{a}-y\boldsymbol{b}+x\boldsymbol{c}$,可得
$\left\{\begin{array}{l} y=1,\\ -y=1,\\ x=0,\end{array}\right. $此方程组无解,所以$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$是不共面的向量,所以$\{ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\} $能作为基底,故 C 正确；
因为$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}$,所以$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$是共面向量,所以$\{ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}\} $不能作为基底,故D错误.
答案▶C