《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例15 [教材改编P8 T2]如图6.1-20,在空间四边形ABCD中,已知点G为△BCD的重心,E,F,H分别为CD,AD,BC的中点,化简下列各式,并在图中标出化简结果.

(1)$\overrightarrow{AG}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BE}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$;
(2)$\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})$;
(3)$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}$.

答案： 解析
(1)如图6.1-21,连接EF,
∵ G是△BCD的重心,
∴ $\overrightarrow{GE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BE}$.
又$\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{EF}$,
∴ 由向量加法的三角形法则可知,
(EF为△ACD的中位线)
$\overrightarrow{AG}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BE}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}$.
在图中标出$\overrightarrow{AF}$,如图6.1-21所示.
(2)连接AH,如图6.1-21,因为E,F,H分别为CD,AD,BC的中点,
所以$\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})=\dfrac{1}{2}(2\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AH}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{FH}$.
在图中标出$\overrightarrow{FH}$,如图6.1-21所示.
(3)$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})+\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AG}$.
在图中标出$\overrightarrow{AG}$,如图6.1-21所示.