《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

10.(2025.湖北省宜昌市期中)在棱长为1的正方
体ABCD−ABlClD中,E,F分别为CD,AlB1的中
点,则点F到直线ED，的距离为$\frac{\sqrt{30}}{5}$;平面
BFC，到平面AED，的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

答案：
10.$\frac{\sqrt{30}}{5}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$以$D$为原点，分别以$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DD_1}$的方向为$x$轴、$y$轴、$z$轴的正方向建立如图D6.3 - 10所示的空间直角坐标系，则$A(1,0,0)$，$B(1,1,0)$，$E(0,\frac{1}{2},0)$，$C_1(0,1,1)$，$D_1(0,0,1)$，$F(1,\frac{1}{2},1)$，
$\overrightarrow{FE}=(-1,0, - 1)$，$\overrightarrow{ED_1}=(0, - \frac{1}{2},1)$，$\overrightarrow{AD_1}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{AE}=(-1,\frac{1}{2},0)$。
点$F$到直线$ED_1$的距离为$\sqrt{|\overrightarrow{FE}|^{2}-(\frac{|\overrightarrow{FE}·\overrightarrow{ED_1}|}{|\overrightarrow{ED_1}|})^{2}}=\sqrt{2 - (\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}})^{2}}=\frac{\sqrt{30}}{5}$
由正方体的性质可知，平面$BFC_1//$平面$AED_1$，平面$BFC_1$到平面$AED_1$的距离即为点$F$到平面$AED_1$的距离。
(【巧转化】面面距转化为点面距)
设平面$AED_1$的法向量为$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$，
所以$\begin{cases}\overrightarrow{AD_1}·\overrightarrow{n}=-x + z = 0\\\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{n}=-x+\frac{1}{2}y = 0\end{cases}$
令$x = 1$，得$z = 1$，$y = 2$，则平面$AED_1$的一个法向量为$\overrightarrow{n}=(1,2,1)$。
点$F$到平面$AED_1$的距离$d=\frac{|\overrightarrow{FE}·\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以平面$BFC_1$到平面$AED_1$的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$。

例24(新情境曲池(2025.浙江省“金砖”高中联盟期中)中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种名为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分),现有一个如图6.3−48所示的曲池,它的高为2,AA,,BB,
CC,DD，均与曲池的底面垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为90°,则平面A,CD1 与平面AB,C所成角的余弦值为.

答案： $\frac{7}{9}$。