《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

1. (2025·河南省洛阳市期中)若$\{ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\} $是空间的一个基底,且向量$\boldsymbol{m}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{n}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$,则可以与$\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}$构成空间的另一个基底的向量是 (C)

A.$\boldsymbol{a}$
B.$\boldsymbol{b}$
C.$\boldsymbol{c}$
D.$2\boldsymbol{a}$

答案： 1.C 由题意知，$a$,$b$,$c$不共面，对于选项A，$a = \frac{1}{2}[(a + b) + (a - b)] = \frac{1}{2}m + \frac{1}{2}n$，故$a$,$m$,$n$共面，排除A；对于选项B，$b = \frac{1}{2}[(a + b) - (a - b)] = \frac{1}{2}m - \frac{1}{2}n$，故$b$,$m$,$n$共面，排除B；对于选项D，由选项A得，$2a = m + n$，故$2a$,$m$,$n$共面，排除D。选C。

例8 (2025·广东省惠州市第一中学期中)如图 6.2 -6,四棱锥 P -OABC 的底面为一矩形,$PO⊥$平面 OABC,设$\overrightarrow {OA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow {OC}=$$\boldsymbol{b},\overrightarrow {OP}=\boldsymbol{c}$,E,F 分别是 PC,PB的中点,试用$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$表示$\overrightarrow {BF},\overrightarrow {BE},\overrightarrow {AE},\overrightarrow {EF}.$

答案： 解析▶连接 BO,则$\overrightarrow {BF}=\frac {1}{2}\overrightarrow {BP}=\frac {1}{2}(\overrightarrow {BO}+\overrightarrow {OP})=\frac {1}{2}(\boldsymbol{c}-$$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=-\frac {1}{2}\boldsymbol{a}-\frac {1}{2}\boldsymbol{b}+\frac {1}{2}\boldsymbol{c}.$
$\overrightarrow {BE}=\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CE}=\overrightarrow {BC}+\frac {1}{2}\overrightarrow {CP}=\overrightarrow {BC}+\frac {1}{2}(\overrightarrow {CO}+\overrightarrow {OP})=-\boldsymbol{a}-$$\frac {1}{2}\boldsymbol{b}+\frac {1}{2}\boldsymbol{c}.$
$\overrightarrow {AE}=\overrightarrow {AP}+\overrightarrow {PE}=\overrightarrow {AO}+\overrightarrow {OP}+\frac {1}{2}(\overrightarrow {PO}+\overrightarrow {OC})=-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}+$$\frac {1}{2}(-\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b})=-\boldsymbol{a}+\frac {1}{2}\boldsymbol{b}+\frac {1}{2}\boldsymbol{c}.$
$\overrightarrow {EF}=\frac {1}{2}\overrightarrow {CB}=\frac {1}{2}\overrightarrow {OA}=\frac {1}{2}\boldsymbol{a}.$

例9 已知$\boldsymbol{a}=(3,4,5),\boldsymbol{e}_{1}=(2,-1,1),\boldsymbol{e}_{2}=$$(1,1,-1),\boldsymbol{e}_{3}=(0,3,3)$,用$\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}$表示$\boldsymbol{a}.$

答案： 思路点拨▶先通过空间向量基本定理用$\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}$表示出$\boldsymbol{a}$,再利用向量相等得到相关系数即可得解.
解析 由题意得，$e_{1},e_{2},e_{3}$不共面。
设$a = \alpha e_{1} + \beta e_{2} + \lambda e_{3}$，即$(3,4,5) = (2\alpha + \beta,-\alpha + \beta + 3\lambda,\alpha - \beta + 3\lambda)$，
所以$\begin{cases}2\alpha + \beta = 3,\\-\alpha + \beta + 3\lambda = 4,\\\alpha - \beta + 3\lambda = 5,\end{cases}$解此方程组得$\begin{cases}\alpha = \dfrac{7}{6},\\\beta = \dfrac{2}{3},\\\lambda = \dfrac{3}{2},\end{cases}$
（空间向量基本定理的唯一性）
所以$a = \dfrac{7}{6}e_{1} + \dfrac{2}{3}e_{2} + \dfrac{3}{2}e_{3}$。

2. 新情境 九章算术 (2025·陕西省西安市第八十五中期末)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱. 如图 6.2 -7,在堑堵$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中,M,N 分别是$A_{1}C_{1},BB_{1}$的中点,G 是 MN 的中点,若$\overrightarrow {AG}=x\overrightarrow {AB}+y\overrightarrow {AA_{1}}+z\overrightarrow {AC}$,则$x+$$y+z=$(C)
A.1
B.$\frac {1}{2}$
C.$\frac {3}{2}$
D.$\frac {3}{4}$

答案： 2.C 连接$AM$,$AN$，如图D6.2 - 1。
由于$G$是$MN$的中点，
所以$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，
因为$\overrightarrow{AG} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AA_1} + z\overrightarrow{AC}$，所以$x + y + z = \frac{3}{2}$，故选C。

例10 已知$\boldsymbol{a}=(2,-1,-2),\boldsymbol{b}=(0,-1,$4),求$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}· \boldsymbol{b},2\boldsymbol{a}· (-\boldsymbol{b}),(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·$$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}).$

答案： $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2);$
$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6);$
$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=0+1-8=-7;$
$2\boldsymbol{a}·(-\boldsymbol{b})=-2(\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b})=-2×(-7)=14;$
$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=2×2+(-2)×0+2×(-6)=4+0-12=-8.$