《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例3-4 利用排列数公式证明性质②.

答案： 解析
▶︎$mA_{n - 1}^{m - 1}+A_{n - 1}^{m}$
$=\frac{m(n - 1)!}{[(n - 1)-(m - 1)]!}+\frac{(n - 1)!}{(n - 1 - m)!}$
$=\frac{m(n - 1)!}{(n - m)!}+\frac{(n - 1)!}{(n - m - 1)!}$
$=\frac{(n - 1)!}{(n - m)!}[m+(n - m)]$
$=\frac{(n - 1)!}{(n - m)!}× n$
$=\frac{n!}{(n - m)!}$
$=A_{n}^{m}$.
故性质②得证.
点评 要熟练掌握排列数的基本公式，尤其是$A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n - m)!}$，这是证明排列数恒等式的重要工具.