《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

1.(2025.江苏省七校联考)若离散型随机变量X
的分布列为

且E(X)=$\frac{3}{2}$,当a²+b²+c²取最小值时,随机变量
X的方差D(X)等于$\frac{5}{12}$.

答案：
1.$\frac{5}{22}$ 学审题 结构化思维解题
如何求$a^2 + b^2 + c^2$最小值？转化为同一变量的函数
如何寻求$a,b,c$之间的关系？分布列隐含的条件：$\sum_{i=1}^{n} p_{i}=1$，题中给的条件$E(X)=\frac{3}{2}$
得方程组，消元，将$b,c$代入$a^2 + b^2 + c^2$得关于$a$的一元二次函数
用$a$分别表示$b,c$，方差公式得$D(X)$的值求得$a$的值
根据所给分布列，可得$a + b + c = 1$，$E(X)=b + 2c=\frac{3}{2}$，
$\begin{cases}b=\frac{1}{2}-2a\\c=\frac{1}{2}+a\end{cases}$
则$a^2 + b^2 + c^2=6a^2 - a + \frac{1}{2}$，
易知当$a=\frac{1}{12}$时，$a^2 + b^2 + c^2$取得最小值，为$\frac{11}{24}$，
此时$b=\frac{1}{3}$，$c=\frac{7}{12}$
$\therefore D(X)=\frac{1}{12}×(-\frac{3}{2})^2+\frac{1}{3}×(1 - \frac{3}{2})^2+\frac{7}{12}×(2 - \frac{3}{2})^2=\frac{5}{12}$.

2.某游戏规则如下:需要猜三道题目，若三道题目
中猜对一道题目可得1分，猜对两道题目可得3分，
要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部
猜错，则扣掉4分.如果甲猜对这三道题目的概率分
别为$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$,且三道题目之间相互独立.求甲在
该环节中所得分数的分布列、均值与方差.

答案： 2.根据题意，设$X$表示甲在该环节所得分数，则$X$的可能取值为$-4,1,3,6$。
$\therefore P(X = - 4)=(1-\frac{2}{3})×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})=\frac{1}{9}$，
$P(X = 1)=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{7}{18}$，
$P(X = 3)=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{7}{18}$，
$P(X = 6)=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$
$\therefore X$的分布列为
$X$ -4 1 3 6
$P$ $\frac{1}{9}$ $\frac{7}{18}$ $\frac{7}{18}$ $\frac{1}{9}$
$\therefore E(X)=(-4)×\frac{1}{9}+1×\frac{7}{18}+3×\frac{7}{18}+6×\frac{1}{9}=\frac{16}{9}$
故$D(X)=(-4-\frac{16}{9})^2×\frac{1}{9}+(1-\frac{16}{9})^2×\frac{7}{18}+(3-\frac{16}{9})^2×\frac{7}{18}+(6-\frac{16}{9})^2×\frac{1}{9}=\frac{527}{81}$