《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例5 [教材改编 P108 T4](2025·河北省石家庄第二实验中学月考)近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2 000次的概率为85%，充放电循环次数达到2 500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2 000次充电，那么他的车能够充电2 500次的概率为.

答案： 解析 设A表示车载动力蓄电池充放电循环次数达到2 000次，B表示车载动力蓄电池充放电循环次数达到2 500次，
则$P(A)=\frac {85}{100},P(AB)=P(B)=\frac {35}{100},$
所以若某用户的自用新能源汽车已经经过了2 000次充电，那么他的车能够充电2 500次的概率为$P(B|A)=$
$\frac {P(AB)}{P(A)}=\frac {\frac {35}{100}}{\frac {85}{100}}=\frac {35}{85}=\frac {7}{17}.$
答案 $\frac {7}{17}$

例6 在有三个小孩的家庭中（每个孩子是男孩或女孩的概率相等）.
（1）求至少有一个女孩的概率；
（2）已知至少有一个女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率.

答案： 解析 设事件A表示“三个小孩中至少有一个女孩”，B表示“三个小孩中至少有一个男孩”.
（1）事件$\overline {A}$表示“三个小孩全是男孩”，则$P(\overline {A})=$
$\frac {1}{2^{3}}=\frac {1}{8}.$
（利用正难则反的思想求出对立事件发生的概率）
所以$P(A)=1-P(\overline {A})=1-\frac {1}{8}=\frac {7}{8}.$
（利用对立事件概率减法公式求解）
即三个小孩中至少有一个女孩的概率为$\frac {7}{8}.$
（2）方法1 设$A_{i}$表示“三个小孩中有i个男孩，$(3-$i）个女孩”$(i=1,2)$，则$AB=A_{1}\cup A_{2}$，且$A_{1}$与$A_{2}$互斥.
所以$P(AB)=P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})=2×$
$\frac {C_{3}^{1}}{2^{3}}=\frac {3}{4}.$
（利用互斥事件的概率加法公式求解）
从而$P(B|A)=\frac {P(AB)}{P(A)}=\frac {\frac {3}{4}}{\frac {7}{8}}=\frac {6}{7}.$
（利用条件概率的定义求解）
即已知三个小孩中至少有一个女孩，则该家庭至少有一个男孩的概率为$\frac {6}{7}.$
方法2 用G表示女孩，N表示男孩，则在A发生的条件下，样本空间为$Ω_{A}=\{ (G,N,N),(N,G,N),(N,$$G),(G,G,N),(G,N,G),(N,G,G),(G,G,G)\} $，而在$Ω_{A}$中，B所含的基本事件数为6，所以$P(B|A)=\frac {6}{7}.$
名师点评 解题中应注意两个问题的区别，事件A发生，在题（1）中表示结果，而在题（2）中则表示条件.