《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

5. 已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.

答案：
5.如图D6.1−2，设$\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OB}=b$，$\overrightarrow{OC}=c$，连接OM，又P，M分别为OA，BC的中点，
∴$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(b + c)-\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}(b - a + c)$。\n连接ON，同理，$\overrightarrow{QN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}(a + c)-\frac{1}{2}b=-\frac{1}{2}(b - a - c)$。\n
∴$\overrightarrow{PM}·\overrightarrow{QN}=\frac{1}{2}(b - a + c)·[-\frac{1}{2}(b - a - c)]=-\frac{1}{4}(|b - a|^2 - |c|^2)$。\n又$AB = OC$，即$|b - a| = |c|$，
∴$\overrightarrow{PM}·\overrightarrow{QN}=0$，
∴$\overrightarrow{PM}\bot\overrightarrow{QN}$，
∴$PM\bot QN$。\n

例23 如图6.1-33(1),在△ABC中,$\angle ACB=60°$,CD为$\angle ACB$的平分线,AC=4,BC=2,过点B作BN⊥CD于点N,延长后交CA于点E,把图形沿CD折起,使$\angle BNE=120°$,如图6.1-33(2)所示,求折起后所得线段AB的长度.
([注意]翻折前后AB的长度发生变化)

答案： 解析 如图6.1-34,过点A作AM⊥CD交CD的延长线于点M,则CM=AC·cos∠ACM=$4×\cos30°=2\sqrt{3}$,
(∠ACM=∠ACD)
∵ CD为∠ACB平分线,BE⊥CD,
∴ △CNB≌△CNE,
(ASA)
∴ CE=BC=2,
∴ CN=CE·cos∠ACM=$2×\cos30°=\sqrt{3}$,
∴ MN=CM-CN=$\sqrt{3}$.
易知AM=AC·sin30°=2,BN=BC·sin30°=1,
且$\langle\overrightarrow{NB},\overrightarrow{NE}\rangle=120°$,
∴ $\langle\overrightarrow{NB},\overrightarrow{AM}\rangle=60°$.
(NE//AM,且$\overrightarrow{NE}$与$\overrightarrow{AM}$方向相反)
∵ AM⊥MN,
∴ $\overrightarrow{AM}·\overrightarrow{MN}=0$.
同理$\overrightarrow{MN}·\overrightarrow{NB}=0$.
∵ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NB}$,
∴ $\overrightarrow{AB}^2=\overrightarrow{AM}^2+\overrightarrow{MN}^2+\overrightarrow{NB}^2+2\overrightarrow{AM}·\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{AM}·\overrightarrow{NB}+2\overrightarrow{MN}·\overrightarrow{NB}=4+3+1+2|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{NB}|·\cos60°=10$.
∴ $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{10}$,即折起后所得线段AB的长度为$\sqrt{10}$.

6. (2025·福建省福州十校期中)如图6.1-35,平行六面体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中,以A为端点的三条棱的长都为1,且两两夹角均为60°,则$AC_1$的长为$\sqrt{6}$.

答案： 6.$\sqrt{6}$由于$\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}$，则$|\overrightarrow{AC_1}|^2=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1})^2=|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AD}|^2+|\overrightarrow{AA_1}|^2+2\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AA_1}+2\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AA_1}=1 + 1 + 1+3×2×1×1×\cos60^{\circ}=6$。\n
∴$|\overrightarrow{AC_1}|=\sqrt{6}$，即$AC_1$的长为$\sqrt{6}$。