《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例 9 A,B,C,D,E5名同学，按下列要求排成一排，求满足下列条件的排列方法数。
(1)5名同学排成一排且A,B相邻；
(2)5名同学排成一排，A,B相邻，且D,E也相邻。
(3)5名同学排成一排，A,B相邻但不排在两端；
(4)5名同学排成一排，A,B中至少有一人与E相邻。

答案： 解析▶
(1)将A,B相邻的排列分两步：
第一步，把A,B“捆绑”在一起，由于A,B有序，因此有$A_{2}^{2}$种“捆绑”方法；
（“捆绑”时不能忘记对“捆绑”元素的排列）
第二步，将A,B“捆绑”后视为一个元素，再与C,D,E进行排列，有$A_{4}^{4}$种方法。
根据分步计数原理知，A,B相邻的排法种数为$A_{2}^{2}A_{4}^{4}=48$。
(2)依据题意分三步：
第一步，把A,B“捆绑”，有$A_{2}^{2}$种方法；
第二步，把D,E“捆绑”，有$A_{2}^{2}$种方法；
第三步，将“捆绑”后的“两个元素”与C再进行排列，有$A_{3}^{3}$种方法。
根据分步计数原理知，不同的排法种数为$A_{2}^{2}× A_{2}^{2}×$$A_{3}^{3}=24$。
(3)完成这件事可分为三步。
第一步，先将A,B“捆绑”在一起，并视为一个元素，有$A_{2}^{2}$种方法；
第二步，A,B“捆绑”后与其余三个元素共计四个元素排成一排占四个位置，由于A,B不排在两端，故将“捆绑”后的A,B优先安排在中间的两个位置上，有2种方法；
第三步，最后排其余3人，有$A_{3}^{3}$种方法。
根据分步计数原理知，不同的排法种数为$A_{2}^{2}× 2×$$A_{3}^{3}=24$。
(4)分A,E相邻与B,E相邻两“类”。
第一“类”，A,E相邻，有$A_{2}^{2}× A_{4}^{4}$种不同的排法；
第二“类”，B,E相邻，有$A_{2}^{2}× A_{4}^{4}$种不同的排法；
由于两“类”中都包含E与A,B同时相邻的情况，其方法数为$A_{2}^{2}× A_{3}^{3}$，故A,B中至少一人与E相邻的排法种数为$A_{2}^{2}A_{4}^{4}+A_{2}^{2}A_{4}^{4}-A_{2}^{2}A_{3}^{3}=84$。
（E与A,B同时相邻的情况重复计数，应减去一次）