《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

8.(2024.全国甲卷)如图6.3−
42,在以A,B,C,D,E,F为顶点
的五面体中，四边形ABCD与四
边形ADEF均为等腰梯形,EF//
AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=
EF=2,ED=√10,FB=2√3,M
为AD的中点.
(1)证明:BM//平面CDE;
(2)求二面角F−BM−E的正弦值.

答案：
8.
(1)[方法1](利用线面平行判定定理)
因为$M$为$AD$的中点，$BC// AD$，且$AD = 4$，$BC = 2$，所以$BC// MD$，且$BC = MD$，
所以四边形$BCDM$为平行四边形。
所以$BM// CD$，
又$CD\subset$平面$CDE$，$BM\not\subset$平面$CDE$，所以$BM//$平面$CDE$。
[方法2](利用面面平行的性质)
因为$EF// AD$，$BC// AD$，所以$EF// BC$，
又$EF = BC = 2$，所以四边形$BCEF$为平行四边形。
所以$BF// CE$，又$CE\subset$平面$CDE$，$BF\not\subset$平面$CDE$，所以$BF//$平面$CDE$。
因为$M$为$AD$的中点，且$AD = 4$，所以$EF// MD$，且$EF = MD$，所以四边形$MDEF$为平行四边形。
所以$FM// ED$，又$ED\subset$平面$CDE$，$FM\not\subset$平面$CDE$，所以$FM//$平面$CDE$。
因为$BF$，$FM\subset$平面$BMF$，$BF\cap FM = F$，所以平面$BMF//$平面$CDE$。
又$BM\subset$平面$BMF$，所以$BM//$平面$CDE$。
(2)取$AM$的中点$O$，连接$BO$，$FO$。
由
(1)方法1可知，$BM = CD = AB = 2$，因为$AM = 2$，所以$BO\perp AD$，且$BO = \sqrt{3}$。
由
(1)方法2知四边形$MDEF$为平行四边形，所以$FM = ED = \sqrt{10}$，
又$AF = \sqrt{10}$，所以$FO\perp AM$，
又$OA = OM = 1$，所以$FO = \sqrt{FA^{2}-OA^{2}} = 3$，
又$FB = 2\sqrt{3}$，所以$BO^{2}+FO^{2}=FB^{2}$，
所以$FO\perp OB$，即$OB$，$OD$，$OF$两两垂直。
分别以$OB$，$OD$，$OF$所在直线为$x$，$y$，$z$轴建立如图D6.3 - 8所示的空间直角坐标系，
则$F(0,0,3)$，$B(\sqrt{3},0,0)$，
$M(0,1,0)$，$E(0,2,3)$，则$\overrightarrow{MB}=(\sqrt{3}, - 1,0)$，$\overrightarrow{MF}=(0, - 1,3)$，$\overrightarrow{ME}=(0,1,3)$。
设平面$FBM$的法向量为$\overrightarrow{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$，
则$\begin{cases}\overrightarrow{n_1}·\overrightarrow{MB}=0\\\overrightarrow{n_1}·\overrightarrow{MF}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}\sqrt{3}x_1 - y_1 = 0\\ - y_1 + 3z_1 = 0\end{cases}$。
令$y_1 = 3$，所以$x_1 = \sqrt{3}$，$z_1 = 1$，所以$\overrightarrow{n_1}=(\sqrt{3},3,1)$。
设平面$EBM$的法向量为$\overrightarrow{n_2}=(x_2,y_2,z_2)$，
则$\begin{cases}\overrightarrow{n_2}·\overrightarrow{MB}=0\\\overrightarrow{n_2}·\overrightarrow{ME}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}\sqrt{3}x_2 - y_2 = 0\\y_2 + 3z_2 = 0\end{cases}$
令$y_2 = 3$，所以$x_2 = \sqrt{3}$，$z_2 = - 1$，所以$\overrightarrow{n_2}=(\sqrt{3},3, - 1)$。
设二面角$F - BM - E$的平面角为$\theta$，所以$|\cos\theta| = |\cos\langle\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\rangle| = \frac{11}{13}$，
因为$\theta\in[0,\pi]$，所以$\sin\theta＞0$，即$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^{2}\theta}=\frac{4\sqrt{3}}{13}$，所以二面角$F - BM - E$的正弦值为$\frac{4\sqrt{3}}{13}$。

例22在长方体0ABC−OABlC中,OA=
2,AB=3,AA=2,求0,到直线AC的距离.

答案：
解析》(方法1建立如图6.3−43所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),0(0,0,2),C(0,3,0),过0作O,D⊥AC,交AC于点D,设D(x,y,0),则OD=(x,y,−2),AD=(x−2,y,0).
∵AC=(−2,3,0),0,D⊥AC,AD//AC;'
−2x+3y=0, x=$\frac{18}{13}$,
∴{$\frac{x−2}{−2}$=;，' 解得y=$\frac{12}{13}$,
∴D($\frac{18}{13}$,$\frac{12}{13}$,0),
∴

10,DI=/($\frac{18}{13}$)²+($\frac{12}{13}$)²+(−2)²=$\frac{2√286}{13}$
([会解题]利用空间向量长度公式求解)
即O，到直线AC的距离为2∠12386.

(方法2)连接A0,建立如图6.3−44所示的空间直
角坐标系,则A(2,0,0),0(0,0,2),C(0,3,0),
∴AO=(−2,0,2),AC=(−2,3,0),
∴AO.AC=
(−2,0,2).(−2,3,0)=4,
∴$\frac{AO.AC}{AC}$$\frac{1}{AC}$ =$\frac{4}{13}$,
∴0到直线AC的距离d=
AO|P−$\frac{0.A}{IACI}$-$\frac{1}{C}$AC2=$\frac{2√286}{13}$.

([看本质]实质是勾股定理的运用)

9.(2025.河南省郑州市第一中
学质检)如图6.3−45,在直三棱
柱ABC−ABC中,△ABC是等

边三角形,AA=√2,AB=2,则点
C到直线AB,的距离为(C)

A.$\frac{√}{3}$
B.$\frac{√23}{3}$
C.√30
D.5
3 3

答案：
9.C取$AC$的中点$O$，连接$OB$，则$BO\perp AC$，
$BO = \sqrt{3}$，以$OB$所在直线为$x$轴，$OC$所在直线为$y$轴，$O$与$A_1C_1$中点连线所在直线为$z$轴，建立如图D6.3 - 9所示的空间直角坐标系，所以$A(0, - 1,0)$，$B_1(\sqrt{3},0,\sqrt{2})$，
所以$\overrightarrow{AB}=(\sqrt{3},1,\sqrt{2})$，$\overrightarrow{CA}=(0, - 2,0)$，
所以$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{AB}$上的投影向量的长度为$\frac{|\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，故点$C$到直线$AB_1$的距离为$\sqrt{|\overrightarrow{AC}|^{2}-(\frac{\sqrt{6}}{3})^{2}}=\sqrt{4 - \frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{30}}{3}$。

例23(2025.吉林省白城市月考)如图
6.3−46,△BCD与△MCD都是边长为2的正
三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面
BCD,AB=2√3.求点A到平面MBC的距离.

答案：
解析渗如图6.3−47,取CD的中点0,连接0B,OM，则OB⊥CD,OM⊥CD,又平面MCD⊥平面BCD,平面MCD∩平面BCD=CD,所以MO⊥平面BCD,所以MO⊥OB.
以0为坐标原点,分别以直线OC,BO,OM为x轴、y轴轴建立空间直角坐标系0−xyz,如图6.3−47所示.
因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB=0M=√3,则C(1,0,0),M(0,0,√3),B(0,−√3,0),A(0,−√3,2√3),所以BC=(1,√3,0),
BM=(0,√3,√3).
n⊥BC,
设平面MBC的法向量为n=(x,y,z),由{nBM,得
{nn..BBCM==00,,即{x√+3y√3+y√=3z0=,0,取x=√3,可得平面
MBC的一个法向量为n=(√3,−1,1).
→
又BA=(0,,0,2√3),所以所求距离d=$\frac{|BA.n|}{|n|}$=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$.