《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例2-4 [教材改编 P122 例4](2025·广东省深圳市期中)甲、乙两种品牌的手表,它们的日走时误差分别为$X$,$Y$(单位:秒),其分布为:
甲品牌走时误差分布

乙品牌走时误差分布

试比较甲乙两种品牌的性能.

答案： 解析 由概率和为$1$可得,$a = 1 - 0.8 - 0.1 = 0.1$,
$b = 1 - 0.1 - 0.2 - 0.4 - 0.1 = 0.2$,
$E(X)= -1 × 0.1 + 0 × 0.8 + 1 × 0.1 = 0$,
$E(Y)= -2 × 0.1 + (-1) × 0.2 + 0 × 0.4 + 1 × 0.2 + 2 × 0.1 = 0$,
所以$E(X)=E(Y)$,误差均值相同.
$D(X)=(-1)^2 × 0.1 + 0^2 × 0.8 + 1^2 × 0.1 = 0.2$,
$D(Y)=(-2)^2 × 0.1 + (-1)^2 × 0.2 + 0^2 × 0.4 + 1^2 × 0.2 + 2^2 × 0.1 = 1.2$,
所以$D(X) ＜ D(Y)$,
则甲的方差小,性能更稳定.

例2-5 [教材改编 P123 T1](2025·福建省长乐第一中学月考)已知随机变量$X$的分布列为

则$D(X)=$.

答案： 解析 方法 1(利用方差的定义)
由分布列得$E(X)=1 × \frac{1}{4} + 2 × \frac{1}{3} + 3 × \frac{1}{6} + 4 × \frac{1}{4} = \frac{29}{12}$,
所以$D(X)=(1 - \frac{29}{12})^2 × \frac{1}{4} + (2 - \frac{29}{12})^2 × \frac{1}{3} + (3 - \frac{29}{12})^2 × \frac{1}{6} + (4 - \frac{29}{12})^2 × \frac{1}{4} = \frac{179}{144}$
方法 2(利用$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$)由分布列得$E(X)=1 × \frac{1}{4} + 2 × \frac{1}{3} + 3 × \frac{1}{6} + 4 × \frac{1}{4} = \frac{29}{12}$,
$E(X^2)=1^2 × \frac{1}{4} + 2^2 × \frac{1}{3} + 3^2 × \frac{1}{6} + 4^2 × \frac{1}{4} = \frac{85}{12}$,所以$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 = \frac{85}{12} - (\frac{29}{12})^2 = \frac{179}{144}$
答案 ▶ $\frac{179}{144}$