《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例18 (1)(2024·北京)在$(x-\sqrt {x})^{4}$的展开式中，$x^{3}$的系数为
()
A.6
B.-6
C.12
D.-12
(2)(2025·上海春季)已知$(x+\frac {a}{x})^{6}$的展开式中常数项是20，则$a=$.
(3)(2025·天津)在$(x-1)^{6}$的展开式中，$x^{3}$项的系数为.
(4)(2024·上海)在$(x+1)^{n}$的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中$x^{2}$的系数为.

答案： 解析▶
(1)方法1 $(x-\sqrt {x})^{4}$的展开式的通项$T_{r+1}=$$C_{4}^{r}x^{4-r}(-\sqrt {x})^{r}=(-1)^{r}C_{4}^{r}x^{4-\frac {r}{2}}(r=0,1,2,3,4)$.由$4-\frac {r}{2}=3$，得$r=2$，所以$(x-\sqrt {x})^{4}$的展开式中$x^{3}$的系数为$(-1)^{2}C_{4}^{2}=6.$
方法2 (组合数法)$(x-\sqrt {x})^{4}$的展开式中含$x^{3}$的项是由$(x-\sqrt {x})(x-\sqrt {x})(x-\sqrt {x})(x-\sqrt {x})$中任意取2个括号内的x与剩余的2个括号内的$-\sqrt {x}$相乘得到的，所以$(x-\sqrt {x})^{4}$的展开式中含$x^{3}$的项为$C_{4}^{2}x^{2}·$$C_{2}^{2}(-\sqrt {x})^{2}=6x^{3}$，所以$(x-\sqrt {x})^{4}$的展开式中$x^{3}$的系数为6.
(2)$(x+\frac {a}{x})^{6}$的通项$T_{k+1}=C_{6}^{k}x^{6-k}(\frac {a}{x})^{k}=C_{6}^{k}a^{k}x^{6-2k},$
令$6-2k=0$，得$k=3,$
所以$T_{4}=C_{6}^{3}a^{3}=20$，解得$a=1.$
(3)$(x-1)^{6}$展开式的通项为$T_{r+1}=C_{6}^{r}x^{6-r}· (-1)^{r},$
当$r=3$时，$T_{4}=C_{6}^{3}x^{3}· (-1)^{3}=-20x^{3},$
即$x^{3}$项的系数为-20.
(4)令$x=1$，得$2^{n}=32$，所以$n=5$，则$(x+1)^{5}$的通项$T_{r+1}=C_{5}^{r}· x^{5-r}· 1^{r}$，令$5-r=2$，得$r=3$，所以展开式中$x^{2}$的系数为$C_{5}^{3}=10.$
答案▶
(1)A
(2)1
(3)-20
(4)10

例19 (2024·全国甲卷)$(\frac {1}{3}+x)^{10}$的展开式中，各项系数中的最大值为.

答案： 解析▶$(\frac {1}{3}+x)^{10}$的展开式的通项$T_{r+1}=$$C_{10}^{r}(\frac {1}{3})^{10-r}x^{r}$，设第$r+1$项的系数最大，
则$\left\{\begin{array}{l} C_{10}^{r}(\frac {1}{3})^{10-r}≥C_{10}^{r-1}(\frac {1}{3})^{11-r},\\ C_{10}^{r}(\frac {1}{3})^{10-r}≥C_{10}^{r+1}(\frac {1}{3})^{9-r},\end{array}\right. $即$\left\{\begin{array}{l} \frac {1}{3(10-r)}≥\frac {1}{r+1},\\ \frac {1}{r}≥\frac {1}{3(11-r)},\end{array}\right. $
解得$\frac {29}{4}≤r≤\frac {33}{4}$，即$r=8,$
故展开式中各项系数中的最大值为$C_{10}^{8}(\frac {1}{3})^{2}=5.$
答案▶5

例20 (1)(2022·新高考全国Ⅰ卷)$(1-\frac {y}{x})·$$(x+y)^{8}$的展开式中$x^{2}y^{6}$的系数为(用数字作答).
(2)(全国Ⅰ卷)$(x+\frac {y^{2}}{x})(x+y)^{5}$的展开式中$x^{3}y^{3}$的系数为
()
A.5
B.10
C.15
D.20

答案： 解析▶
(1)$(x+y)^{8}$展开式的通项$T_{k+1}=C_{8}^{k}x^{8-k}y^{k},k=$$0,1,...,8.$
令$k=6$，得$T_{6+1}=C_{8}^{6}x^{2}y^{6}$，令$k=5$，得$T_{5+1}=C_{8}^{5}x^{3}y^{5},$
所以$(1-\frac {y}{x})· (x+y)^{8}$的展开式中$x^{2}y^{6}$的系数为$C_{8}^{6}-C_{8}^{5}=-28.$
(2)因为$(x+y)^{5}$的展开式的第k+1项为$T_{k+1}=$$C_{5}^{k}x^{5-k}y^{k}$，所以$(x+\frac {y^{2}}{x})(x+y)^{5}$的展开式中$x^{3}y^{3}$的系数为$C_{5}^{3}+C_{5}^{1}=15.$
答案▶
(1)-28
(2)C