《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

+例14 (2023·上海)已知空间中的三点A,B,C满足AB=AC=BC=1,在空间中任取不同的两点(不计顺序),使得这两点与点A,B,C可以组成正四棱锥,则不同的取法有种(用数字作答).

答案：
解析 ▶ 由题意得△ABC为正三角形. 根据正四棱锥的定义知,正四棱锥的底面是正方形,顶点在底面的射影是正方形的中心,故所给正△ABC的任意一条边可以为底面正方形的一条边或对角线,将△ABC的一条边作为底面正方形的一条边,若将BC作为底面正方形的一条边,可在△ABC的左侧取不同的两点E,F,使得这两点与A,B,C构成正四棱锥A-BCEF,在△ABC的右侧取不同的两点E′,F′,使得这两点与A,B,C构成正四棱锥A-BCE′F′,如图7.1-13,同样,AB,AC也可作为底面正方形的一条边,所以方案数为3×2=6;将△ABC的一条边作为底面正方形的对角线时,若将BC作为底面正方形的对角线,可构造一个正四棱锥,如图7.1-14,同样AB,AC也可作为底面正方形的对角线,所以方案数为3. 故不同的取法有6+3=9(种).

答案 ▶ 9

1. [多选题] 设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2,3,3,4条,现要从一面上山,从剩余三面中的任意一面下山,则下列结论正确的是 (ABD)

A.从东面上山有20种走法
B.从西面上山有27种走法
C.从南面上山有30种走法
D.从北面上山有32种走法

答案： 1.ABD根据题意，依次分析选项：
对于A，若从东面上山，上山的路有2条，下山的路有3+3+4=10(条)，则共有2×10=20(条)，A正确；
对于B，若从西面上山，上山的路有3条，下山的路有2+3+4=9(条)，则共有3×9=27(条)，B正确；
对于C，若从南面上山，上山的路有3条，下山的路有2+3+4=9(条)，则共有3×9=27(条)，C错误；
对于D，若从北面上山，上山的路有4条，下山的路有2+3+3=8(条)，则共有4×8=32(条)，D正确.
故选ABD.

2. [多选题] (2025·山东省枣庄市第三中学质检) 现安排A,B,C三人到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每人只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是 (ABD)

A.共有4³种不同的安排方法
B.若甲工厂必须有人去,则不同的安排方法有37种
C.若A必须去甲工厂,则不同的安排方法有12种
D.若三人所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种

答案： 2.ABD对于A，A，B，C三人，每人有4种选法，则三人有4×4×4=$4^{3}$种选法，故A正确；
对于B，三人到4个工厂，有$4^{3}=64$种情况，其中甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有$3^{3}=27$种，则甲工厂必须有人去的安排方法有64-27=37(种)，故B正确；
对于C，若A必须去甲工厂，剩下2人安排到4个工厂即可，有$4^{2}=16$种安排方法，故C错误；
对于D，若三人所选工厂各不相同，有4×3×2=24种安排方法，故D正确.