《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

*例11 (2024·全国高中数学奥林匹克竞赛新疆赛区选拔赛)在空间四边形$ABCD$中，$AB=2$，$BC=3$，$CD=5$，$DA=8$，则$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD}=$.

答案： 解析▶以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CD}$为基底，则$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$，则$\overrightarrow{AD}^2=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})^2=\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{BC}^2+\overrightarrow{CD}^2+2(\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CD}·\overrightarrow{BC})$，即$64=4+9+25+2(\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CD}·\overrightarrow{BC})$，所以$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CD}·\overrightarrow{BC}=13$，
因此$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})·(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CD}·\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{BC}=13+9=22$.
答案▶$22$

*例12 (2025·中国科学技术大学强基计划测试)
空间中点$(1,1,0)$，$(0,1,1)$，$(1,0,1)$，$(1,1,1)$构成四面体的体积为.

答案：
解析▶在空间直角坐标系中作出四点，如图6-18，该四面体体积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1=\frac{1}{6}$.
答案▶$\frac{1}{6}$

*例13 (2025·重庆市高中数学联赛初赛)四面体$ABCD$满足$AB\perp BC$，$BC\perp CD$，$CD\perp AB$，$AB=BC=CD=1$，设$AB,BC,CD$的中点分别为$L,M,N$，则点$M$到直线$LN$的距离为.

答案：
解析▶因为$AB\perp BC$，$BC\perp CD$，$CD\perp AB$，所以$AB,BC$，$CD$两两垂直.以点$B$为原点，$BC$为$x$轴，过点$B$作$CD$的平行线为$y$轴，$BA$为$z$轴，建立空间直角坐标系，

如图6-19.则$A(0,0,1)$，$B(0,0,0)$，$C(1,0,0)$，$D(1,1,0)$.
因为$AB,BC,CD$的中点分别为$L,M,N$，连接$MN,LN$，
所以$L(0,0,\frac{1}{2})$，$M(\frac{1}{2},0,0)$，$N(1,\frac{1}{2},0)$，
$\overrightarrow{LN}=(1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{MN}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$，
由点到直线的距离公式可知，
$d=\sqrt{|\overrightarrow{MN}|^2-(\frac{|\overrightarrow{MN}·\overrightarrow{LN}|}{|\overrightarrow{LN}|})^2}$
$=\sqrt{\frac{(1×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×0)^2}{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}$
$=\sqrt{\frac{(\frac{3}{4})^2}{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}}$
$=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}$
$=\frac{\sqrt{2}}{4}$.
答案▶$\frac{\sqrt{2}}{4}$