《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例9(1)(2025.江苏省扬中市期末)如果5 是离散型随机变量,η=2£+3,则下列结论中正确的是 ()
A. $ E(\xi)=\frac{E(\eta)-3}{2},D(\xi)=\frac{D(\eta)-3}{2} $
B. $ E(\xi)=\frac{E(\eta)}{2},D(\xi)=\frac{D(\eta)-3}{2} $
C. $ E(\xi)=\frac{E(\eta)-3}{2},D(\xi)=\frac{D(\eta)-9}{4} $
D. $ E(\xi)=\frac{E(\eta)-3}{2},D(\xi)=\frac{D(\eta)}{4} $
(2)(2025.湖南省临湘市第二中学月考)已知某离散型随机变量X的分布列如下:

|PIa b c $\frac{1}{3}$
若E(X)=$\frac{3}{4}$,P(X≥1)=$\frac{7}{12}$,则D(4X+1)=
()
A.15 B.18 C.19 D.20

答案： 解析卜
(1)因为η=25+3,所以根据数学期望与方差的性质可知E(η)=2E(

)+3,D(η)=2²D(

))=
4D
(5),所以E(≤)=E(n)−3,D(

)=D(n).
(2)由题意,得a+b+c+$\frac{1}{3}$=1,所以a+b+c=$\frac{2}{3}$①,因为E(X)=(−1)×a+0×b+1xc+2×$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{4}$,
所以−a+c=$\frac{1}{12}$②,
由P(X≥1)=c+$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{12}$,得c=$\frac{1}{4}$,
代入①②解得a=$\frac{1}{6}$,b=$\frac{1}{4}$,
所以D(X)=(−1−$\frac{3}{4}$)²×$\frac{1}{6}$+(0−$\frac{3}{4}$)²×$\frac{1}{4}$+
(1−$\frac{3}{4}$)2×$\frac{1}{4}$+(2−$\frac{3}{4}$)2×$\frac{1}{3}$=$\frac{19}{16}$,
所以D(4X+1)=4²D(X)=19.
答案》
(1)D
(2)C

3.(2025.浙江省台州市期中)已知随机变量的概率
分布为P(5=k)=$\frac{1}{3}$,k=1,2,3,则D(2+3)= (D)

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{4}{3}$
C.2
D.$\frac{8}{3}$

答案： 3.D 由随机变量$\xi$的概率分布可得$E(\xi)=(1 + 2 + 3)×\frac{1}{3}=2$，
$\therefore D(\xi)=(1 - 2)^2×\frac{1}{3}+(2 - 2)^2×\frac{1}{3}+(3 - 2)^2×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，则
$D(2\xi + 3)=4D(\xi)=\frac{8}{3}$

4.(2025.山东省安丘市第一中学月考)A,B两个
代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员,A队队员
是A,A2,A3,B队队员是B,B2,B3,按以往多次比
赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下.
对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率

按表中的对阵方式出场，每场胜队得1分,负队得0
分.设三场后A队、B队最后所得总分分别为随机变
量X,Y;
(1)求X,Y的分布列;
(2)求E(X)和E(Y).

答案： 4.
(1)由题意知$X,Y$的可能取值均为$3,2,1,0$。
$P(X = 3)=\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}=\frac{8}{75}$，
$P(X = 2)=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}+\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{28}{75}$，
$P(X = 1)=\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}=\frac{30}{75}=\frac{2}{5}$，
$P(X = 0)=\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{3}{25}$。
$\therefore X$的分布列为
$X$ 0 1 2 3
$P$ $\frac{3}{25}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{28}{75}$ $\frac{8}{75}$
根据题意得$X + Y = 3$，
$\therefore P(Y = 0)=P(X = 3)=\frac{8}{75}$，$P(Y = 1)=P(X = 2)=\frac{28}{75}$，
$P(Y = 2)=P(X = 1)=\frac{2}{5}$，$P(Y = 3)=P(X = 0)=\frac{3}{25}$，
$\therefore Y$的分布列为
$Y$ 0 1 2 3
$P$ $\frac{8}{75}$ $\frac{28}{75}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{25}$
(2)由
(1)可得$E(X)=3×\frac{8}{75}+2×\frac{28}{75}+1×\frac{2}{5}+0×\frac{3}{25}=\frac{22}{15}$
$\because X + Y = 3$，$\therefore Y = 3 - X$，$\therefore E(Y)=3 - E(X)=\frac{23}{15}$