《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例24 (2025·四川省绵阳南山中学月考)如图6.1-36所示,已知在平行六面体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱$AA_1$的长为b,且$\angle A_1AB=\angle A_1AD=120°$.求异面直线$BD_1$与AC所成角的余弦值.

答案： 解析 设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{c}$,
∵ $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{BD_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{A_1D_1}$,
∴ $\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{BD_1}=-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$.
∴ $\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD_1}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·(-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=-\boldsymbol{a}^2+\boldsymbol{b}^2+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}$,
$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{\overrightarrow{AC}^2}=\sqrt{\boldsymbol{a}^2+2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^2}$,
$|\overrightarrow{BD_1}|=\sqrt{\overrightarrow{BD_1}^2}=\sqrt{\boldsymbol{a}^2+\boldsymbol{b}^2+\boldsymbol{c}^2-2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}+2\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}}$.
又$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=a$,$|\boldsymbol{c}|=b$,$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=0$,$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}=-\dfrac{1}{2}ab$,
∴ $\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD_1}=-a^2+a^2-ab=-ab$,
$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{a^2+0+a^2}=\sqrt{2}a$,
$|\overrightarrow{BD_1}|=\sqrt{2a^2+b^2+ab-ab}=\sqrt{2a^2+b^2}$.
∴ $\cos\langle\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD_1}\rangle=\dfrac{\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD_1}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD_1}|}=\dfrac{-ab}{\sqrt{2}a·\sqrt{2a^2+b^2}}=\dfrac{-b\sqrt{4a^2+2b^2}}{4a^2+2b^2}$.
记直线$BD_1$与AC所成角为θ,则$0°＜\theta\leq90°$,
∴ 直线$BD_1$与AC所成角的余弦值为$\dfrac{b\sqrt{4a^2+2b^2}}{4a^2+2b^2}$.

(2025·江西省上饶市质检)如图6.1-37,在正四面体OABC中,E,F分别为AB,OC的中点,则$\overrightarrow{OE}$与$\overrightarrow{BF}$的夹角的余弦值为.

答案： 解析 设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$,且$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=1$,$\angle AOB=\angle BOC=\angle AOC=60°$,
(正四面体的性质:各面均为正三角形)
则$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}=\boldsymbol{c}·\boldsymbol{a}=\dfrac{1}{2}$.
∵ $\overrightarrow{OE}=\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$,$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OB}=\dfrac{1}{2}\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}$,
$|\overrightarrow{OE}|=|\overrightarrow{BF}|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ $\cos\langle\overrightarrow{OE},\overrightarrow{BF}\rangle=\dfrac{\overrightarrow{OE}·\overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{OE}||\overrightarrow{BF}|}=\dfrac{\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·\left(\dfrac{1}{2}\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}+\dfrac{1}{4}\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}-\dfrac{1}{2}|\boldsymbol{b}|^2}{\dfrac{3}{4}}=-\dfrac{2}{3}$.
∴ $\overrightarrow{OE}$与$\overrightarrow{BF}$的夹角的余弦值为$-\dfrac{2}{3}$.
答案 $-\dfrac{2}{3}$