《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例17 (2023·新课标Ⅰ卷改编)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.则第2次投篮的人是乙的概率为.

答案： 解析 记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则$A=BA+\overline {B}A,$
所以$P(A)=P(BA+\overline {B}A)=P(BA)+P(\overline {B}A)=$$P(B)P(A|B)+P(\overline {B})P(A|\overline {B})=0.5×(1-0.6)+$$0.5×0.8=0.6.$
答案 0.6

1. [多选题](2025·辽宁省辽南协作校期末)在一次对高三年级学生两次模拟考试数学成绩的统计调查中发现，两次成绩均得优的学生占5%，仅第一次得优的占7.9%，仅第二次得优的占89%.则(AC)

A.已知某学生第一次得优，则第二次也得优的概率约为0.388
B.已知某学生第一次得优，则第二次也得优的概率约为0.139
C.某同学两次均未得优的概率约为0.782
D.某同学两次均未得优的概率约为0.95

答案： 1.AC 设$A$表示“第一次数学成绩得优”，$B$表示“第二次数学成绩得优”，
则$P(AB)=0.05$，$P(A\overline{B})=0.079$，$P(\overline{A}B)=0.089$，
则$P(A)=P(AB)+P(A\overline{B})=0.05 + 0.079 = 0.129$，
$P(B)=P(AB)+P(\overline{A}B)=0.05 + 0.089 = 0.139$，
$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{0.05}{0.129}\approx 0.388$，
$P(B|\overline{A})=\frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}=\frac{0.089}{1 - 0.129}\approx 0.102$，
$P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B}|\overline{A})=(1 - P(A))(1 - P(B|A))=(1 - 0.129)(1 - 0.102)\approx 0.782$.
故选AC.

2. [多选题](2025·浙江省金华市第六中学月考)一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲、乙分别作答，至少答对2题者评为“智答能手”.设甲评为“智答能手”为事件A，乙评为“智答能手”为事件B，若$P(B|A)=P(B)$，则下列结论正确的是(ABD)

A.$P(A|B)=P(A)$
B.$P(\overline {B}|A)=\frac {1}{15}$
C.甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为$\frac {16}{45}$
D.甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为$\frac {44}{45}$

答案： 2.ABD 对于$A$，$\because P(B|A)=P(B)$，$\therefore A$，$B$相互独立，$\therefore P(A|B)=P(A)$，$\therefore A$正确；
对于$B$，$\because P(A)=\frac{C_6^2C_4^1 + C_6^3}{C_{10}^3}=\frac{2}{3}$，$P(B)=\frac{C_8^2C_2^1 + C_8^3}{C_{10}^3}=\frac{14}{15}$，
$P(\overline{B}|A)=1 - \frac{14}{15}=\frac{1}{15}$，$\therefore B$正确；
对于$C$，甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为$1 - P(AB)=1 - \frac{2}{3} × \frac{14}{15}=\frac{17}{45}$，$\therefore C$错误；
对于$D$，甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为$1 - P(\overline{A}\overline{B})=1 - \frac{1}{3} × \frac{1}{15}=\frac{44}{45}$，$\therefore D$正确.