《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例4-6 设$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$分别是不重合的直线$l_{1}$，$l_{2}$的方向向量，根据下列条件求直线$l_{1}$与$l_{2}$所成的角.
(1)$\boldsymbol{a}=(4,6,-2)$，$\boldsymbol{b}=(-2,-3,1)$；
(2)$\boldsymbol{a}=(5,0,2)$，$\boldsymbol{b}=(0,1,0)$；
(3)$\boldsymbol{a}=(-1,-1,-2)$，$\boldsymbol{b}=(2,-1,1)$.

答案： 解析
(1)
∵$\boldsymbol{a}=(4,6,-2)$，$\boldsymbol{b}=(-2,-3,1)$，
∴$\boldsymbol{a}=-2\boldsymbol{b}$，
∴$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，
∴$l_{1}// l_{2}$，
故直线$l_{1}$与$l_{2}$所成的角为$0^{\circ}$.
(2)
∵$\boldsymbol{a}=(5,0,2)$，$\boldsymbol{b}=(0,1,0)$，
∴$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=0$，
∴$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，
∴$l_{1}\perp l_{2}$，
故直线$l_{1}$与$l_{2}$所成的角为$90^{\circ}$.
(3)
∵$\boldsymbol{a}=(-1,-1,-2)$，$\boldsymbol{b}=(2,-1,1)$，
∴$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=-3$，又$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{6}$，$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{6}$，
∴$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\dfrac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=-\dfrac{1}{2}$，
∴$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=120^{\circ}$，（两直线夹角范围是$[0,\dfrac{\pi}{2}]$，故所求角是其补角）
故直线$l_{1}$与$l_{2}$所成的角为$60^{\circ}$.

例4-7 [教材改编 P37 例8]如图6.3-11，在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，点$E_{1}$，$F_{1}$，$F$分别在$A_{1}B_{1}$，$C_{1}D_{1}$，$BC$上，且$E_{1}B_{1}=\dfrac{1}{4}A_{1}B_{1}$，$D_{1}F_{1}=\dfrac{1}{4}D_{1}C_{1}$，$CF=\dfrac{1}{4}CB$.
(1)求$BE_{1}$与$DF_{1}$所成的角的大小；
(2)求$F_{1}F$与平面$D_{1}AC$所成角的大小；
(3)求二面角$D_{1}-AC-D$的大小.

答案： 解析 根据题意，不妨设正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为4，以$\{\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DD_{1}}\}$（在设数时，尽可能避免计算中出现分数）为正交基底，建立如图6.3-12所示的空间直角坐标系$D-xyz$.
(1)易得$D(0,0,0)$，$B(4,4,0)$，$E_{1}(4,3,4)$，$F_{1}(0,1,4)$，
所以$\overrightarrow{DF_{1}}=(0,1,4)$，$\overrightarrow{BE_{1}}=(0,-1,4)$，
所以$\cos\langle\overrightarrow{DF_{1}},\overrightarrow{BE_{1}}\rangle=\dfrac{\overrightarrow{DF_{1}}·\overrightarrow{BE_{1}}}{|\overrightarrow{DF_{1}}||\overrightarrow{BE_{1}}|}=\dfrac{15}{17}$，
可得异面直线$BE_{1}$与$DF_{1}$所成的角约为$28.07^{\circ}$.
(2)易得$D(0,0,0)$，$B_{1}(4,4,4)$，$F(1,4,0)$，所以$\overrightarrow{F_{1}F}=(1,3,-4)$，
连接$DB_{1}$，如图6.3-12，
又易知$\overrightarrow{DB_{1}}=(4,4,4)$为平面$D_{1}AC$的一个法向量，
所以$\cos\langle\overrightarrow{F_{1}F},\overrightarrow{DB_{1}}\rangle=\dfrac{\overrightarrow{F_{1}F}·\overrightarrow{DB_{1}}}{|\overrightarrow{F_{1}F}||\overrightarrow{DB_{1}}|}=\dfrac{0}{\sqrt{26}×4\sqrt{3}}=0$，
可得直线$F_{1}F//$平面$D_{1}AC$，
即$F_{1}F$与平面$D_{1}AC$所成的角为$0^{\circ}$.
(3)易知平面$DAC$的一个法向量为$\overrightarrow{DD_{1}}=(0,0,4)$，
所以$\cos\langle\overrightarrow{DD_{1}},\overrightarrow{DB_{1}}\rangle=\dfrac{\overrightarrow{DD_{1}}·\overrightarrow{DB_{1}}}{|\overrightarrow{DD_{1}}||\overrightarrow{DB_{1}}|}=\dfrac{16}{4\sqrt{3}×4}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
可得二面角$D_{1}-AC-D$的大小约为$54.74^{\circ}$.