《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例6 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率.

答案： 解析 令X表示5次预报中预报准确的次数，则X~B(5,$\frac{4}{5}$)，故其分布列为P(X=k)=$C_5^k(\frac{4}{5})^k(1-\frac{4}{5})^{5-k}$(k=0,1,2,3,4,5).
(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X=2)=$C_5^2×(\frac{4}{5})^2×(1-\frac{4}{5})^3$=10×$\frac{16}{25}×\frac{1}{125}$≈0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-$C_5^0×(\frac{4}{5})^0×(1-\frac{4}{5})^5$-$C_5^1×\frac{4}{5}×(1-\frac{4}{5})^4$=1-0.00032-0.0064≈0.99.
(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为$C_4^1×\frac{4}{5}×(1-\frac{4}{5})^3×\frac{4}{5}$≈0.02.
易错警示 根据n重伯努利试验的概率公式计算随机事件的概率时，务必要注意公式P(X=k)=$C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$(k=0,1,2,…,n)表示n重伯努利试验中事件A恰好发生了k次的概率，而非指定的k次.故上例第
(3)问中的“n”为4，“k”为1.

例7 (2025·山东省枣庄市期中)有四道选择题，某同学答对其中每道题的概率都是$\frac{2}{3}$，且解答各题之间互不影响.已知答对一题得5分，不答或答错一题得0分.求该同学答完这四道题的最终得分X的分布列.

答案：
思路点拨 若设该同学答完这四道题时答对的题数为Y，则Y服从二项分布，且X=5Y，于是利用Y的概率分布即得X的概率分布.
设该同学答对的题数为$Y$，则$Y\sim B(4,\frac{2}{3})$，$P(Y=k)=C_4^k(\frac{2}{3})^k(\frac{1}{3})^{4 - k}$，$k=0,1,2,3,4$。
计算得：
$P(Y=0)=C_4^0(\frac{2}{3})^0(\frac{1}{3})^4=\frac{1}{81}$，
$P(Y=1)=C_4^1(\frac{2}{3})^1(\frac{1}{3})^3=\frac{8}{81}$，
$P(Y=2)=C_4^2(\frac{2}{3})^2(\frac{1}{3})^2=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}$，
$P(Y=3)=C_4^3(\frac{2}{3})^3(\frac{1}{3})^1=\frac{32}{81}$，
$P(Y=4)=C_4^4(\frac{2}{3})^4(\frac{1}{3})^0=\frac{16}{81}$。
因为$X = 5Y$，所以$X$的可能取值为$0,5,10,15,20$，其分布列为：

1.(2025·江苏省无锡市期中)设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=$\frac{5}{9}$,则P(η≥2)的值为(B)

A.$\frac{32}{81}$
B.$\frac{11}{27}$
C.$\frac{65}{81}$
D.$\frac{16}{81}$

答案： 1.B 因为随机变量$\xi\sim B(2,p)$，
所以$P(\xi\geqslant1)=1-P(\xi=0)=1-(1-p)^2=\frac{5}{9}$，解得$p=\frac{1}{3}$，所
以$\eta\sim B(4,\frac{1}{3})$，
则$P(\eta\geqslant2)=1-P(\eta=0)-P(\eta=1)=1-(1-\frac{1}{3})^4-C_4^1(1-\frac{1}{3})^3(\frac{1}{3})^1=\frac{11}{27}$.

例8 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主是否购买保险相互独立.
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求随机变量X的均值与方差.

答案： 解析 设事件A表示该地1位车主购买甲种保险，事件B表示该地1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险，事件C表示该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种，事件D表示该地1位车主甲、乙两种保险都不购买.
(1)由题意知P(A)=0.5，P(B)=0.3，C=A∪B，则P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8.
故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
(2)D=$\overline{C}$，P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2.
由题意知，X~B(100,0.2)，
所以X的均值E(X)=100×0.2=20，方差D(X)=100×0.2×(1-0.2)=16.