《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

1. 新情境 化学综合 [多选题] (2025·河南省信阳高级中学月考)金刚石是自然界中天然存在的最硬的物质,如图6.1-45(1)所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图,组成金刚石的每个碳原子,都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看,图6.1-45(2)中有AE=BE=CE=DE,若正四面体ABCD的棱长为2,则正确的是(BD)


A.$|\overrightarrow{BE}|=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$
B.$|\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}|=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
C.$\cos\langle\overrightarrow{EC},\overrightarrow{EB}\rangle=\dfrac{1}{3}$
D.$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{AB}=2$

答案： 1.BD 由题意得E是正四面体ABCD外接球的球心，\n设O是顶点A在下底面的射影，连接OB，OA，则AO是正四面体的高，OB是△BCD的外接圆半径，\n则$OB=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$AO=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\overrightarrow{BE}^2=\overrightarrow{OE}^2+\overrightarrow{BO}^2=(\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AE})^2+\overrightarrow{BO}^2$，\n解得$|\overrightarrow{AE}|=\frac{\sqrt{6}}{2}$，则$|\overrightarrow{OE}|=\frac{\sqrt{6}}{6}$。\n对于A，$|\overrightarrow{BE}| = |\overrightarrow{AE}|=\frac{\sqrt{6}}{2}$，故A错误；\n对于B，$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=-(\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED})$，所以$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=0$，所以$|\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}|=|\overrightarrow{ED}|=|\overrightarrow{BE}|=\frac{\sqrt{6}}{2}$，故B正确；\n对于C，$\cos\langle\overrightarrow{EC},\overrightarrow{EB}\rangle=\cos\langle\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EB}\rangle=-\frac{|\overrightarrow{OE}|}{|\overrightarrow{BE}|}=-\frac{1}{3}$，故C错误；\n对于D，$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^2=2$，故D正确。故选BD。

2. 新考法 结构不良 (2025·江苏省南京市质检)如图6.1-46,在四面体OABC中,M是棱OA上靠近A的三等分点,N是棱BC的中点,P是线段MN的中点.设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$.

(1)用$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$表示向量$\overrightarrow{OP}$;
(2)若$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=1$,且满足,求出$|\overrightarrow{OP}|$的大小.
从下列三个条件中任选一个,填上序号,并完成解答:
①$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}\rangle=\dfrac{\pi}{3}$;
②$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\langle\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}\rangle=\dfrac{\pi}{3}$,$\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle=\dfrac{\pi}{2}$;
③$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\langle\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}\rangle=\dfrac{\pi}{2}$,$\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle=\dfrac{2\pi}{3}$.

答案：
2.
(1)如图D6.1−3，连接ON，因为N是棱BC的中点，所以$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})$，因为M是棱OA上靠近A的三等分点，所以$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}[\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB})]=\frac{1}{2}[\frac{2}{3}a+\frac{1}{2}(c + b)]=\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{4}c$。\n
(2)选①，因为$|a| = |b| = |c| = 1$，$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{4}c$，所以$|\overrightarrow{OP}|^2=(\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{4}c)^2=\frac{1}{9}a^2+\frac{1}{16}b^2+\frac{1}{16}c^2+\frac{1}{6}a· b+\frac{1}{6}a· c+\frac{1}{8}c· b=\frac{1}{9}+\frac{1}{8}+\frac{1}{6}×\frac{1}{2}+\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{8}×\frac{1}{2}=\frac{67}{144}$，所以$|\overrightarrow{OP}|=\frac{\sqrt{67}}{12}$。\n选②，因为$|a| = |b| = |c| = 1$，$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{4}c$，所以$|\overrightarrow{OP}|^2=(\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{4}c)^2=\frac{1}{9}a^2+\frac{1}{16}b^2+\frac{1}{16}c^2+\frac{1}{6}a· b+\frac{1}{6}a· c+\frac{1}{8}c· b=\frac{1}{9}+\frac{1}{8}+\frac{1}{6}×\frac{1}{2}+\frac{1}{8}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{29}{72}$，所以$|\overrightarrow{OP}|=\frac{\sqrt{58}}{12}$。\n选③，因为$|a| = |b| = |c| = 1$，$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{4}c$，所以$|\overrightarrow{OP}|^2=(\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{4}c)^2=\frac{1}{9}a^2+\frac{1}{16}b^2+\frac{1}{16}c^2+\frac{1}{6}a· b+\frac{1}{6}a· c+\frac{1}{8}c· b=\frac{1}{9}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}×\frac{1}{2}-\frac{1}{144}$，所以$|\overrightarrow{OP}|=\frac{5}{12}$。\n