《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

2.求$S=C_{27}^{1}+C_{27}^{2}+... +C_{27}^{27}$除以9的余数.

答案： 2.$S=C_{27}^{1}+C_{27}^{2}+·s+C_{27}^{27}=2^{27}-1=8^{9}-1=(9-1)^{9}-1=C_{9}^{0}×9^{9}-C_{9}^{1}×9^{8}+·s+C_{9}^{8}×9-C_{9}^{9}-1=9(C_{9}^{0}×9^{8}-C_{9}^{1}×9^{7}+·s+C_{9}^{8})-2=9(C_{9}^{0}×9^{8}-C_{9}^{1}×9^{7}+·s+C_{9}^{8}-1)+7$，
显然上式括号内的数是正整数，故$S$除以$9$的余数为$7$。

例9 [教材改编 P87 例5]求证：$3^{2n+3}-$$24n+37(n∈N^{*})$能被64整除.

答案： 解析▶$3^{2n+3}-24n+37$
$=3· 9^{n+1}-24n+37$
（由于64较大，因此需利用指数运算改变底数的大小）
$=3(8+1)^{n+1}-24n+37$
$=3(C_{n+1}^{0}8^{n+1}+C_{n+1}^{1}8^{n}+... +C_{n+1}^{n}8+1)-24n+37$
$=3· 64(C_{n+1}^{0}8^{n-1}+C_{n+1}^{1}8^{n-2}+... +C_{n+1}^{n-1})+24C_{n+1}^{n}-$$24n+40$
$=64· 3(C_{n+1}^{0}8^{n-1}+C_{n+1}^{1}8^{n-2}+... +C_{n+1}^{n-1})+64,$
显然上式是64的倍数，故原式能被64整除.

例10 证明：$2^{n}＞1+n(n∈N^{*},n≥2).$

答案： 解析▶$n≥2,2^{n}=(1+1)^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+... +C_{n}^{n}=$$1+n+C_{n}^{2}+... +C_{n}^{n}＞1+n.$
故得证.（第三项及以后各项都是正数）

3.证明：$(1+\frac {1}{n})^{n}≥2(n∈N^{*}).$

答案： 3.当$n=1$时，$(1+\frac{1}{1})^{1}=2$；
当$n\geq2$时，$(1+\frac{1}{n})^{n}=1+C_{n}^{1}·\frac{1}{n}+C_{n}^{2}·\frac{1}{n^{2}}+C_{n}^{3}·\frac{1}{n^{3}}+·s+C_{n}^{n}·\frac{1}{n^{n}}=1+1+C_{n}^{2}·\frac{1}{n^{2}}+·s+C_{n}^{n}·\frac{1}{n^{n}}＞2$。
所以$(1+\frac{1}{n})^{n}\geq2$成立.

例11 （1）求1.0035⁵的近似值（精确到0.001）；
（2）求1.997⁵的近似值（精确到0.001）.

答案： 解析▶（1）$1.0035^{5}=(1+0.0035)^{5}\approx 1+5×0.0035=$$1.0175\approx 1.018.$
（2）$1.997^{5}=(2-0.003)^{5}\approx 2^{5}-C_{5}^{1}×0.003×2^{4}+$$C_{5}^{2}×0.003^{2}×2^{3}=32-0.24+0.00072\approx 31.761.$