《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例1-2 如图6.2-3，在平行六面体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，可以作为空间向量的一个基底的是
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A.$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$
B.$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{AB_1}$
C.$\overrightarrow{D_1A_1}, \overrightarrow{D_1C_1}, \overrightarrow{D_1D}$
D.$\overrightarrow{AC_1}, \overrightarrow{A_1C}, \overrightarrow{CC_1}$

答案： 解析 ▶ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$ 共面，排除 A；
$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{AB_1}$ 共面，排除 B；
$\overrightarrow{AC_1}, \overrightarrow{A_1C}, \overrightarrow{CC_1}$ 共面，排除 D；
$\overrightarrow{D_1A_1}, \overrightarrow{D_1C_1}, \overrightarrow{D_1D}$ 三个向量是不共面的，可以作为一个基底，故选 C.（判断构成基底的关键就是三个向量不共面）
答案 ▶ C
想一想 问题驱动
如何判断由三个向量组成的向量组能否作为基底？
提示 ▶ 判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组.若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面.

例2-3 (2025·山西省晋城市期中) 如图6.2-4，已知 $PA$ 垂直于正方形 $ABCD$ 所在的平面，$M, N$ 分别是 $AB, PC$ 的中点，并且 $AB = AP = 1$，建立适当的空间直角坐标系，并求 $\overrightarrow{MN}$ 及点 $N$ 的坐标.

答案： 解析 ▶ 设 $\overrightarrow{DA} = \boldsymbol{e_1}, \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{e_2}, \overrightarrow{AP} = \boldsymbol{e_3}$，
以 $|\boldsymbol{e_1}, \boldsymbol{e_2}, \boldsymbol{e_3}|$ 为单位正交基底建立空间直角坐标系，如图6.2-5所示.
则 $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AP} + \frac{1}{2}\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AP} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) = -\frac{1}{2}\boldsymbol{e_2} + \boldsymbol{e_3} + \frac{1}{2}(-\boldsymbol{e_3} - \boldsymbol{e_2}) = -\frac{1}{2}\boldsymbol{e_2} + \frac{1}{2}\boldsymbol{e_3}$.（将所求向量用单位正交基底表示出来，三个基向量前的系数即为所求向量的坐标）
$\therefore \overrightarrow{MN} = (-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$.
$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\boldsymbol{e_2} - \frac{1}{2}\boldsymbol{e_2} + \frac{1}{2}\boldsymbol{e_3}$，$\therefore$ 点 $N$ 的坐标为 $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
点评 ▶ 空间直角坐标系的建立需要寻求三条互相垂直的直线.坐标原点和三条坐标轴的选取是建立空间直角坐标系进行解题的关键.