《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例14 (2025·广东省茂名市测试)已知空间三点$O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1)$,若直线 OA 上的一点 H 满足$BH⊥OA$,则点 H 的坐标为.

答案：
结构化思维解题

设出H$\to$BH⊥OA→$\overrightarrow {BH}· \overrightarrow {OA}=0$;H在OA上→$\overrightarrow {OA}=λ\overrightarrow {OH}$$\to$H的坐标
解析▶设$H(x,y,z)$,则$\overrightarrow {OH}=(x,y,z),\overrightarrow {BH}=(x,y-1,$$z-1),\overrightarrow {OA}=(-1,1,0)$. 因为$BH⊥OA$,所以$\overrightarrow {BH}·$$\overrightarrow {OA}=0$,即$-x+y-1=0$①,
又点 H 在直线 OA 上,所以$\overrightarrow {OA}=λ\overrightarrow {OH},$

所以点 H 的坐标为$(-\frac {1}{2},\frac {1}{2},0).$
答案▶$(-\frac {1}{2},\frac {1}{2},0)$

4. (1)已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3),\boldsymbol{b}=(x,x^{2}+y-2,y),$且$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$同向,则$x=$1,$y=$3.
(2)[教材改编 P27 T9]已知$\boldsymbol{a}=(1,5,-2),\boldsymbol{b}=$$(m,2,m+2)$,若$\boldsymbol{a}⊥\boldsymbol{b}$,则 m 的值为 (B)
A.0
B.6
C.-6
D.±6

答案： 4.
(1)由题意知$a // b$，则$\frac{x^2 + y - 2}{2} = \frac{y}{3}$，可得
$\begin{cases}y = 3x ①,\\x^2 + y - 2 = 2x ②,\end{cases}$
把①代入②得$x^2 + x - 2 = 0$，
解得$x = -2$或$x = 1$。
当$x = -2$时，$y = -6$；当$x = 1$时，$y = 3$。
当$\begin{cases}x = -2,\\y = -6\end{cases}$时，$b = (-2,-4,-6) = -2a$，向量$a$与$b$反向，不符合题意，故舍去；（【易错点】本题易错的地方是将“向量同向”误认为“向量平行”，得到错解：$x$,$y$的值分别为$-2$,$-6$或$1$,$3$）
当$\begin{cases}x = 1,\\y = 3\end{cases}$时，$b = (1,2,3) = a$，向量$a$与$b$同向，符合题意。
故$x$,$y$的值分别为$1$,$3$。
(2)$B\because a \perp b$，$\therefore 1 × m + 5 × 2 - 2(m + 2) = 0$，解得$m = 6$。

例15 已知$\boldsymbol{a}=(5,3,1),\boldsymbol{b}=(-2,t,-\frac {2}{5}),$若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

答案： 思路点拨▶由向量之间的夹角为钝角可知其数量积为负数(注意特殊情况),进而解不等式得出结果.
解：由已知，$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 5 × (-2) + 3t - \frac{2}{5} = 3t - \frac{52}{5}$。
因为$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为钝角，所以$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} ＜ 0$，即：
$3t - \frac{52}{5} ＜ 0 \implies t ＜ \frac{52}{15}$若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$180°$，则存在$\lambda ＜ 0$，使$\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b}$，即：
$(5, 3, 1) = \lambda (-2, t, -\frac{2}{5})$解方程组：
$\{\begin{array}{l}5 = -2\lambda, \ 3 = \lambda t, \ 1 = -\frac{2}{5} \lambda.\end{array}.$解得：
$\lambda = -\frac{5}{2}, \quad t = -\frac{6}{5}$因此，$t$的取值范围为：
$t \in (-\infty, -\frac{6}{5}) \cup (-\frac{6}{5}, \frac{52}{15})$

例16 (2025·福建省三明一中月考)已知空间中三点$A(-2,0,2),B(-1,1,2),$$C(-3,0,4).$
(1)求$cos∠BAC;$
(2)求$\triangle ABC$中 BC 边上中线的长度.

答案： 解析▶
(1)$\overrightarrow {AB}=(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),$$\overrightarrow {AC}=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2),$$cos∠BAC=\frac {\overrightarrow {AB}· \overrightarrow {AC}}{|\overrightarrow {AB}||\overrightarrow {AC}|}=\frac {-1+0+0}{\sqrt {2}×\sqrt {5}}=-\frac {\sqrt {10}}{10}.$
(2)设 BC 的中点为 D,则点 D 的坐标为$(-2,\frac {1}{2},3).$
又$A(-2,0,2),\therefore \overrightarrow {AD}=(0,\frac {1}{2},1),$$\therefore |\overrightarrow {AD}|=\sqrt {0^{2}+(\frac {1}{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt {\frac {5}{4}}=\frac {\sqrt {5}}{2},$
即$\triangle ABC$中 BC 边上中线的长度为$\frac {\sqrt {5}}{2}.$