《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例16 (1)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有 (A)
A.$ A_{8}^{5}$种
B.$ C_{8}^{5}$种
C.$5^{8}$种
D.$8^{5}$种
(2)5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有 (B)
A.$ A_{8}^{5}$种
B.$ C_{8}^{5}$种
C.$5^{8}$种
D.$8^{5}$种
(3)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，则不同的放法有 (D)
A.$ A_{8}^{5}$种
B.$ C_{8}^{5}$种
C.$5^{8}$种
D.$8^{5}$种

答案： 解析▶
(1)由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以取出5个盒子放不同的球，共有$ A_{8}^{5}$种不同的放法.
(2)由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有$ C_{8}^{5}$种不同的放法.
(3)由于每个盒里放球数量不限，所以第1个球有8种放法，第2个球有8种放法，……第5个球也有8种放法.
故不同的放法共有$8×8×8×8×8=8^{5}$(种).
答案▶
(1)A
(2)B
(3)D

例17 (2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有64种(用数字作答).

答案： 解析▶方法1▶由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有$ C_{4}^{1} C_{4}^{1}$种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有$ C_{4}^{1} C_{4}^{2}$种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有$ C_{4}^{2} C_{4}^{1}$种方案.
综上，不同的选课方案共有$ C_{4}^{1} C_{4}^{1}+ C_{4}^{1} C_{4}^{2}+ C_{4}^{2} C_{4}^{1}=64$(种).
方法2▶若学生从这8门课中选修2门课，则有$ C_{8}^{2}- C_{4}^{2}- C_{4}^{2}=16$种选课方案；
若学生从这8门课中选修3门课，则有$ C_{8}^{3}- C_{4}^{3}- C_{4}^{3}=48$种选课方案.
综上，不同的选课方案共有$16+48=64$(种).
答案▶64