《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

4利用面面垂直关系构建空间直角坐标系
例4(2022.全国乙卷)如图
6−8,四面体ABCD中,AD⊥
CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,
E为AC的中点.
(1)证明:平面BED⊥平
面ACD;
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当
△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的
正弦值.

答案：
解析'
(1)因为AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB,所
以△ADB≌△CDB,所以AB=BC.
因为E为AC的中点,所以AC⊥BE,AC⊥DE,
又BE∩DE=E,BE,DEC平面BED,所以AC⊥平
面BED,
又ACC平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD.
([归纳总结]对于证明面面垂直的问题，通用证
法是先证线面垂直，然后证面面垂直)
(2)因为AB=BC=2,∠ACB=60°,所以△ABC为正
三角形,则AC=2,BE=√3,AE=1.
因为AD=CD,AD⊥CD,所以△ADC为等腰直角三角
形,所以DE=1.
所以DE²+BE²=BD²,则DE⊥BE;
由
(1)可知,AC⊥平面BED.连接EF,因为EFC平面
BED,所以AC⊥EF,当△AFC的面积最小时，点F到
直线AC的距离最小,即EF的长度最小.在Rt△BED中，
当EF的长度最小时,EF⊥BD,EF=$\frac{DE.BE}{BD}$=$\frac{√3}{2}$.
因为DE⊥AC,BE⊥AC,所
以EA,EB,ED两两垂直.
以E为坐标原点,EA,EB,

ED所在的直线分别为x，
y,z轴建立如图6−9所示
空间直角坐标系E−xyz,则A(1,0,0),B(0,√3,0),
D(0,0,1),C(−1,0,0),AB=(−1,√3,0),DB=(0,
√3,−1).
易得DF=$\frac{1}{2}$,FB=$\frac{3}{2}$,所以3DF=FB.设F(0,y,z),
则DF=(0,y,z−1),FB=(0,√3−y,−z),所以3(0,
y,z−1)=(0,√−y,−2),得y=空,z=$\frac{3}{4}$,即F(0,
4,$\frac{3}{4}$),所以C=(1,4,$\frac{3}{4}$).
设平面ABD的法向量为n=(x1,y1,21),
n.AB=−x1+√3γ1=0
则{n.Dβ=√3y1−1=0
不妨取y1=1,则x1=√3,z1=√3,n=(√3,1,√3).
记CF与平面ABD所成的角为α,则sinα=Icos＜CF,
n＞1=$\frac{ICF.n|}{ICF|ln|}$=$\frac{4√3}{7}$ ([易错点]所求线面角的正弦

值等于向量CF与n夹角的余弦值的绝对值)
名师点评 已知条件中有(或可证出)面面垂直关
系时，可令其中一面为xOy平面建立空间直角坐标
系，需在另一平面内找到作为z轴的直线.