《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例16)(2024.新课标II卷)某投篮比赛分
为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比
赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队
员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰，
比赛成绩为0分;若至少投中1次,则该队进
入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投
篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分，
该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投
中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投
中与否相互独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，
求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的
概率.
(2)假设0＜p＜q.
(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的
概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛？
(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期
望最大,应该由谁参加第一阶段比赛？

答案： 解析》
(1)第1步:计算甲、乙所在队进入第二阶段的
概率
设事件A:甲、乙所在队进入第二阶段，
则P(A,)=1−(1−0.4)3=0.784.
第2步:计算乙在第二阶段至少得5分的概率
设事件A2:乙在第二阶段至少得5分，
则P(A2)=1−(1−0.5)3=0.875.
第3步:计算甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的
概率
设事件A3:甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，
则P(A)=P(A1).P(A2)=0.686.
(2)(i)第1步:计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所
在队得15分的概率
设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概
率为P甲，
则P甲=[1−(1−p)3].q²=ρq².(3−3p+p²).
第2步:计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得
15分的概率
设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P乙,
则P乙=[1−(1−q)²].p²=qp².(3−3q+q²).
第3步:比较P甲与P乙的大小
则P甲−P乙=pq(3q²−3pq²+p²q²−3p²+3p2q−p²q²)=
3pq(q−p).(p+q−ρq),
由0＜p＜q≤1,得q−p＞0,p+q−pq=p+q(1−
p)＞0,
所以P甲−P乙＞0,即P甲＞P乙.
第4步:做决策
故应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)第1步;计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望
若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15.
P(X=0)=(1−p)²+[1−(1−p)3].(1−q)3,
P(X=5)=[1−(1−p)3].C.q.(1−q)²,
P(X=10)=[1−(1−p)²].C².q².(1−q),
P(X=15)=[1−(1−p)²]:C3.q²,
所以E(X)=0.P(X=0)+5.P(X=5)+
10.P(X=10)+15.P(X=15)=[1−(1−p)²].
[15q(1−q)²+30q²(1−q)+15q²]=[1−(1−
p)3].15q=15pq(p²−3p+3).
第2步:计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的
比赛成绩的数学期望
若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y
的所有可能取值为0,5,10,15.
同理,可得E(Y)=15pg(q²−3q+3).
第3步;比较E(X)与E(Y)的大小
E(X)−E(Y)=15ρq(p²−3p−q²+3q)=1spq.(q−
p).(3−p−q),
由0＜p＜q≤1,得q−p＞0,3−p−q=3−(p+q)＞0,
所以E(X)−E(Y)＞O,即E(X)＞E(Y).
第4步;做决策
故应该由甲参加第一阶段比赛.