《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例19 [教材改编P17 T10(1)]如图6.1-26所示,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,连接PA,PB,PC,PD,点E,F,G,H分别为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心.求证:E,F,G,H四点共面.

答案： 解析 如图6.1-27,分别连接PE,PF,PG,PH并延长交对边于点M,N,Q,R,连接EG,MQ,EF,EH.
∵ E,F,G,H分别是所在三角形的重心,
([知识回顾]三角形的重心是三角形三条中线的交点)
∴ M,N,Q,R为所在边的中点.
∴ 顺次连接M,N,Q,R,所得的四边形为平行四边形,
且有$\overrightarrow{PE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{PM}$,$\overrightarrow{PF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{PN}$,$\overrightarrow{PG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{PQ}$,$\overrightarrow{PH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{PR}$.
∵ 四边形MNQR为平行四边形,
∴ $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{PG}-\overrightarrow{PE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{PQ}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{PM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{MQ}=\dfrac{2}{3}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MR})=\dfrac{2}{3}(\overrightarrow{PN}-\overrightarrow{PM})+\dfrac{2}{3}(\overrightarrow{PR}-\overrightarrow{PM})=\dfrac{2}{3}×\left(\dfrac{3}{2}\overrightarrow{PF}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{PE}\right)+\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{3}{2}\overrightarrow{PH}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{PE}\right)=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EH}$.
∴ E,F,G,H四点共面.

例20 [教材改编P13 例5]如图6.1-28,在四面体A-BCD中,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ//平面BCD.

答案：
解析 方法1 过P,Q分别作PS//AD交BD于S,QT//AD交CD于T,连接ST,如图6.1-29所示,
则$\overrightarrow{PS}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MD}$,$\overrightarrow{QT}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}$.
因为$\overrightarrow{MD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$,所以$\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{QT}$,所以四边形PQTS是平行四边形,则$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{ST}$.（此处线段PS与QT不重合,故PS平行且等于QT）
又PQ⊄平面BCD,ST⊂平面BCD,
所以PQ//平面BCD.
方法2 由题图易得$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB})+\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC})+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{DC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
由于PQ⊄平面BCD,所以PQ//平面BCD.
(利用向量证明线面平行时,需说明直线不在平面内)