《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

考向2线面角的求解
例27 (2025.北京)如
图6.3−54,在四棱锥P−
ABCD中,△ADC与△BAC均为等腰直角三角形,
∠ADC=90°,∠BAC=90°,
E为BC的中点.
(1)若F,G分别为PD,PE的中点,求证:FG//
平面PAB;
(2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求直线AB与
平面PCD所成角的正弦值.

答案：
解析
(1)如图6.3−55,取PA
的中点N,PB的中点M,连接
FN,MN,GM,
∵△ACD与△ABC
为等腰直角三角形且∠ADC=
90°,∠BAC=90°,
不妨设AD=CD=2,
∴AC=
AB=2√2.
∴BC=4.
∵F,G分别为PD,PE的中点，E为BC的中点，
∴FN=$\frac{1}{2}$AD=1,GM=$\frac{1}{2}$BE=1,
∴FN=GM.
又FN//AD,GM//BC.
∵∠DAC=45°,∠ACB=45°,
∴AD//BC,
∴FN//GM,
∴:四边形FGMN为平行四边形，
∴FG//MN;
∵FGn平面PAB,MNC平面PAB,
∴FG//平面PAB.
(2)
∵PA⊥平面ABCD,
∴以A为原点,AC,AB,AP所
在直线分别为x,y,z轴建立如图6.3−55所示的空间
直角坐标系，
设AD=CD=2,则A(0,0,0),B(0,2√2,0),C(2√2,0,
0),D(√2,−√2,,0),P(0,0,2√2).
∴AB=(0,2√2,0),DC=(√2,√2,0),CP=(−2√2'
0,2√2).
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则{DCCP..nn==00,,."{√−2x2√+2√x2+y2=√02,z=0,
取x=1,则y=−1,z=1,
∴n=(1,−1,1).
设AB与平面PCD所成角为θ，
则sinθ=|cos〈AB,n冫| =IAIABB|..n|n|| =
102×√12+×2√√12²×+((−−11))+²+01ײ11=2√22√2×√3=$\frac{3}{3}$,
即直线AB与平面PCD所成角的正弦值为宫.