《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例7 (1)(2025·江苏省无锡市青山高级中学期中)已知随机变量$X$服从正态分布$N(2,\sigma ^{2})$，$P(X＜4)=0.84$，则$P(X\leqslant 0)=$(A)
A. 0.16
B. 0.32
C. 0.68
D. 0.84
(2)(2025·重庆市朝阳中学月考)若随机变量$\xi$服从正态分布$N(0,1)$，且$P(\xi \leqslant -1.96)=0.025$，则$P(|\xi |＜1.96)=$(C)
A. 0.025
B. 0.05
C. 0.95
D. 0.975

答案：
解析▶
(1)由$X\sim N(2,\sigma ^{2})$可知，其正态密度曲线如图8.3-9所示，对称轴为直线$x=2$，则$P(X\leqslant 0)=P(X\geqslant 4)=1-P(X＜4)=1-0.84=0.16$.

(2)由随机变量$\xi$服从正态分布$N(0,1)$，得$P(\xi ＜1.96)=1-P(\xi \geqslant 1.96)=1-P(\xi \leqslant -1.96)$，所以$P(|\xi |＜1.96)=P(-1.96＜\xi ＜1.96)=P(\xi ＜1.96)-P(\xi \leqslant -1.96)=1-2P(\xi \leqslant -1.96)=1-2× 0.025=0.95$.
答案▶
(1)A
(2)C

例8 [教材改编 P140 T2]设$X\sim N(1,4)$，试求：
（1）$P(-1＜X\leqslant 3)$；
（2）$P(-1＜X\leqslant 1)$；
（3）$P(3＜X\leqslant 5)$.

答案： 解析▶易知$X\sim N(1,2^{2})$，$\therefore \mu =1$，$\sigma =2$.
（1）$P(-1＜X\leqslant 3)=P(1-2＜X\leqslant 1+2)=P(\mu -\sigma ＜X\leqslant \mu +\sigma )\approx 0.683$.
（2）由该正态密度曲线关于直线$x=1$对称，结合图象可知$P(-1＜X\leqslant 1)=\frac {1}{2}P(-1＜X\leqslant 3)\approx \frac {1}{2}× 0.683=0.3415$.
（3）$P(3＜X\leqslant 5)=P(-3＜X\leqslant -1)$，
$\therefore P(3＜X\leqslant 5)=\frac {1}{2}[P(-3＜X\leqslant 5)-P(-1＜X\leqslant 3)]=\frac {1}{2}[P(1-4＜X\leqslant 1+4)-P(1-2＜X\leqslant 1+2)]=\frac {1}{2}[P(\mu -2\sigma ＜X\leqslant \mu +2\sigma )-P(\mu -\sigma ＜X\leqslant \mu +\sigma )]\approx \frac {1}{2}× (0.954-0.683)=0.1355$.
易错警示▶因为正态密度曲线关于直线$x=\mu$对称，所以随机变量在对称轴两侧的对称区间上的概率相等.在求概率的转化过程中易漏乘$\frac {1}{2}$，从而出现错误.

2.(2025·湖北省武汉市期末)若随机变量$\xi$服从正态分布$N(\mu ,\sigma ^{2})$，且$P(\xi ＜2)=P(\xi ＞8)=0.15$，则$P(2\leqslant \xi ＜5)=$0.35.

答案： 2.0.35 $\because$随机变量$\xi$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，且$P(\xi＜2)=P(\xi＞8)=0.15$，
$\therefore\mu=\frac{2 + 8}{2}=5$，$\therefore P(2\leqslant\xi＜5)=P(\xi＜5)-P(\xi＜2)=0.5 - 0.15 = 0.35$.

3.（2025·江苏省盐城市期末）某工厂制造的某种机器零件的尺寸$X\sim N(100,0.01)$，现从中随机抽取10 000个零件，尺寸在$[99.8,99.9)$内的个数约为（B）

A.2710
B.1355
C.430
D.215

答案： 3.B $\because X\sim N(100,0.01)$，$\therefore\mu=100$，$\sigma=0.1$，则$P(99.8\leqslant X＜99.9)=P(\mu - 2\sigma\leqslant X＜\mu-\sigma)=\frac{1}{2}[P(\mu - 2\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 2\sigma)-P(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant\mu+\sigma)]\approx\frac{1}{2}×(0.954 - 0.683)=0.1355$.故随机抽取的$10000$个零件中尺寸在$[99.8,99.9)$内的个数约为$10000×0.1355 = 1355$.