《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例4-11 如图6.1-17，在棱长为1的正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{A_1C_1}$上的投影向量是，向量$\overrightarrow{AB}$在直线$A_1C$上的投影向量是，向量$\overrightarrow{AB}$在平面$BDD_1B_1$上的投影向量是.

答案：
解析
(1) 方法1 向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{A_1C_1}$夹角为$45°$，$|\overrightarrow{AB}| = 1$，$|\overrightarrow{A_1C_1}| = \sqrt{2}$，所以向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{A_1C_1}$上的投影向量是$|\overrightarrow{AB}| · \cos\langle \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A_1C_1} \rangle · \frac{\overrightarrow{A_1C_1}}{|\overrightarrow{A_1C_1}|} = 1 × \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\overrightarrow{A_1C_1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{A_1C_1}$.
方法2 设$B_1D_1 \cap A_1C_1 = O_1$，如图6.1-18，由正方体的性质可得$AB // A_1B_1$，$B_1O_1 \perp A_1C_1$，向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{A_1C_1}$上的投影向量是$A_1O_1 = \frac{1}{2}\overrightarrow{A_1C_1}$.
(2) 如图6.1-18，连接$B_1C$，过$B_1$作$B_1H \perp A_1C$，垂足为$H$，则向量$\overrightarrow{AB}$在直线$A_1C$上的投影向量就是$A_1H$，
在$Rt \triangle A_1B_1C$中，$A_1B_1 = 1$，$B_1C = \sqrt{2}$，$A_1C = \sqrt{3}$，$\cos \angle B_1A_1C = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$A_1H = A_1B_1 · \cos \angle B_1A_1C = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3}A_1C$.
所以向量$\overrightarrow{AB}$在直线$A_1C$上的投影向量是$\frac{1}{3}\overrightarrow{A_1C}$.
(3) 如图6.1-18，连接$AC$，交$BD$于点$O$，则$AC \perp BD$，$AC \perp BB_1$，则$AC \perp$平面$BDD_1B_1$，所以$\overrightarrow{AB}$在平面$BDD_1B_1$上的投影向量就是$\overrightarrow{OB}$，即$\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}$.

答案 $\frac{1}{2}\overrightarrow{A_1C_1}$ $\frac{1}{3}\overrightarrow{A_1C}$ $\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}$(答案不唯一)