《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

5.(2025·广东省珠海市期末)为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：时)，并将样本数据分成[0,2),(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九组，绘制成如图8.2.3-4所示的频率分布直方图.

(1)求这500名学生日平均阅读时间的中位数(保留到小数点后两位).
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(6,8],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用P(k)表示这10名学生中日平均阅读时间在(8,12]内的学生人数为k的概率，其中k=0,1,2,…,10.当P(k)最大时，写出k的值，并说明理由.

答案： 5.
(1)设中位数为$x$，前四个矩形的面积之和为
$(0.02+0.03+0.05+0.05)×2=0.3＜0.5$，
前五个矩形的面积之和为$0.3+0.15×2=0.6＞0.5$，
所以可设中位数为$x\in(8,10)$，
由中位数的定义可得$0.3+(x-8)×0.15=0.5$，
解得$x=\frac{28}{3}\approx9.33$.
(2)由频率分布直方图得这$500$名学生中日平均阅读时间在$(6,8],(14,16],(16,18]$三组内的学生人数分别为$500×0.05×2=50,500×0.04×2=40,500×0.01×2=10$，
若采用分层抽样的方法抽取了$10$人，则从日平均阅读时间在
$(14,16]$内的学生中抽取$\frac{40}{50+40+10}×10=4$(人)，
从这$10$人中随机抽取$3$人，则$X$的可能取值为$0,1,2,3$，
$P(X=0)=\frac{C_6^3}{C_{10}^3}=\frac{1}{6},P(X=1)=\frac{C_4^1C_6^2}{C_{10}^3}=\frac{1}{2}$，
$P(X=2)=\frac{C_4^2C_6^1}{C_{10}^3}=\frac{3}{10},P(X=3)=\frac{C_4^3}{C_{10}^3}=\frac{1}{30}$，
$X$的分布列为
$X$ $0$ $1$ $2$ $3$
$P$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{1}{30}$
数学期望$E(X)=0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}=\frac{6}{5}$.
(3)可知$k=5$，原因如下：
由频率分布直方图，得$2×(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1$，
解得$a=0.10$，
所以学生日平均阅读时间在$(8,12]$内的概率为$0.15×2+0.10×2=0.5$，
从该地区所有高一学生中随机抽取$10$名学生，设日平均阅读时
间在$(8,12]$内的学生人数$Y$，则$Y\sim B(10,\frac{1}{2})$，
所以$P(k)=C_{10}^k(\frac{1}{2})^k(1-\frac{1}{2})^{10-k}=C_{10}^k(\frac{1}{2})^{10}$，其中$k\in\{0,1,2,·s,10\}$，
由组合数的性质，得当$k=5$时，$C_{10}^k$最大，则$P(k)$最大.