《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

4.(2025·天津市第一百中学月考)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为$\frac{49}{60}$；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，则随机变量X的数学期望为$\frac{6}{5}$.

答案： 4.
(1)$\frac{49}{60}$设“选出的$3$名同学来自互不相同的学院”为事件$A$，则
$P(A)=\frac{C_3^1· C_7^2+C_3^0· C_3^3}{C_{10}^3}=\frac{49}{60}$.故选出的$3$名同学是来自互不相
同学院的概率为$\frac{49}{60}$.
(2)$\frac{6}{5}$
方法1随机变量$X$的所有可能取值为$0,1,2,3$.
$P(X=k)=\frac{C_3^k· C_6^{3-k}}{C_{10}^3}(k=0,1,2,3)$.
所以随机变量$X$的分布列为
$X$ $0$ $1$ $2$ $3$
$P$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{1}{30}$
故随机变量$X$的数学期望$E(X)=0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}=\frac{6}{5}$.
方法2由题意知，随机变量$X$服从参数为$N=10,M=4,n=3$的
超几何分布，则$E(X)=\frac{nM}{N}=\frac{3×4}{10}=\frac{6}{5}$.

例14 (2025·江西省宜春市期中)某网站开展了关于生态文明建设进展情况的调查，参与调查者中关注环保问题的约占80%.现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄(单位：岁)分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65].由调查数据得到的频率分布直方图如图8.2.3-3所示.

(1)求这200人年龄的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；
(2)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽取2人的概率；
(3)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出3人，设其中关注环保问题的人数为X，求X的分布列.

答案：
解析
(1)由10×(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1，得a=0.035，
平均数为20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1=41.5.
设中位数为x，则10×0.010+10×0.015+(x-35)×0.035=0.5，
∴x≈42.1.
(2)由题意知，从第1,2组抽取的人数分别为2,3.
设第2组中恰好抽取2人的事件为A，
则P(A)=$\frac{C_3^2C_2^1}{C_5^3}=\frac{3}{5}$.
(3)从所有参与调查的人中任意选出1人，此人关注环保问题的概率为$\frac{4}{5}$.
易知X的所有可能取值为0,1,2,3，
∴P(X=0)=$C_3^0(1-\frac{4}{5})^3=\frac{1}{125}$，
P(X=1)=$C_3^1(\frac{4}{5})^1(1-\frac{4}{5})^2=\frac{12}{125}$，
P(X=2)=$C_3^2(\frac{4}{5})^2(1-\frac{4}{5})^1=\frac{48}{125}$，
P(X=3)=$C_3^3(\frac{4}{5})^3=\frac{64}{125}$，
∴X的分布列为

例15 微信是现代生活信息交流的重要工具，随机对使用微信的100人进行统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信依赖”，不超过两小时的人被定义为“非微信依赖”，已知“非微信依赖”与“微信依赖”人数比恰为3:2.

(1)确定x,y,p,q的值；
(2)为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“微信依赖”和“非微信依赖”100人中用分层抽样的方法抽取10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信依赖”的人数为ξ，求ξ的分布列；
(3)在(2)的前提下，求选取的3人中“微信依赖”至少有2人的概率.

答案：
解析
(1)由统计表中的数据可知，“非微信依赖”的人数为5+15+15+x=35+x，“微信依赖”的人数为30+y，（由表格中数据可分别求出“非微信依赖”和“微信依赖”的人数）
∵$\frac{35+x}{30+y}=\frac{3}{2}$ ①，
又35+x+30+y=100 ②，
联立①②解得x=25，y=10，（结合人数比为3:2以及总人数为100，列出关于x和y的方程组即可解得x和y的值）
∴p=$\frac{x}{100}=\frac{25}{100}=0.25$，q=$\frac{y}{100}=\frac{10}{100}=0.10$.
故x=25，y=10，p=0.25，q=0.10.
(2)用分层抽样的方法抽取的10人中，
“非微信依赖”有10×$\frac{3}{5}$=6(人)，
“微信依赖”有10×$\frac{2}{5}$=4(人)，（根据分层抽样知识确定“非微信依赖”和“微信依赖”人数）
∴随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，（写出随机变量的所有可能取值）
则P(ξ=0)=$\frac{C_4^0C_6^3}{C_{10}^3}=\frac{1}{6}$，P(ξ=1)=$\frac{C_4^1C_6^2}{C_{10}^3}=\frac{1}{2}$，
P(ξ=2)=$\frac{C_4^2C_6^1}{C_{10}^3}=\frac{3}{10}$，P(ξ=3)=$\frac{C_4^3C_6^0}{C_{10}^3}=\frac{1}{30}$，（写出随机变量取每个值时的概率）
∴ξ的分布列为
|ξ|0|1|2|3|
|---|---|---|---|---|
|P|$\frac{1}{6}$|$\frac{1}{2}$|$\frac{3}{10}$|$\frac{1}{30}$|
（写出分布列）
(3)选取的3人中“微信依赖”至少有2人的概率为P(ξ=2)+P(ξ=3)=$\frac{3}{10}+\frac{1}{30}=\frac{1}{3}$.