《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例15)(2022.全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结柬后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望

答案：
解析》
(1)设甲学校获得冠军的事件为A,则甲学校必须获胜2场或者3场.
P(A)=0.5×0.4×0.8+(1−0.5)×0.4×0.8+0.5×(1−0.4)×0.8+0.5×0.4×(1−0.8)=0.6.
故甲学校获得冠军的概率为0.6.
(2)X的取值可以为0,10,20,30.
P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,
P(X=10)=(1−0.5)×0.4×0.8+0.5×(1−0.4)×0.8+0.5×0.4×(1−0.8)=0.44,
P(X=20)=(1−0.5)×(1−0.4)×0.8+0.5×(1−0.4)×(1−0.8)+(1−0.5)×0.4×(1−0.8)=0.34,
P(X=30)=(1−0.5)×(1−0.4)×(1−0.8)=0.06.
所以X的分布列为

10 20 30
P 0.16 0.440.340.06
所以E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.

真题探源

试题是通过创设体育比赛这一实践情境
而编制的一道概率问题，体育竞技项目的
比赛结果往往具有一定的随机性，可以很
题源题论自然以中地此的从为诸情中多提景知炼识，问各，题如种的随各解机样决事的可件概以间率涉的问及关题概系,试率与
运算、概率的性质与计算、事件独立性的
概念与应用、随机变量的概念及其分布列
的推导、数学期望的概念及其计算等,
素养 考查途径
素探养源 数运逻推学算辑理 概判率断的离求散解型，随数机学变期量望的的取计值算,，
数据 由题千信息提取数据，制作分
分析 布列,
(2024.北京)某保险公司为了解该公
司某种保险产品的索赔情况，从合同保
险期限届满的保单中随机抽取1000
份，记录并整理这些保单的索赔情况，
获得数据如下表:
索赔次数 1 4
保单份数8001006030 10
假设:一份保单的保费为0.4万元;前三
次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元;
第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.
变式假设不同保单的索赔次数相互独立,用频
探源率估计概率
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的
概率
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的
保费与赔偿总金额之差,
(i)记X为一份保单的毛利润,估计X的
数学期望E(X);
(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,
有索赔的保单的保费增加20%，试比较这
种情况下一份保单毛利润的数学期望
计值与(i)中E(X)估计值的大小.(结
不要求证明)
解取一析份保(1单)方，索法赔次$\frac{1}{次}$1＞数(不直少接于法2)”为记事“件随A机,抽
由索赔次数不少于2,知索赔次数为2,3,4,
所以P(A)=$\frac{60+30+10}{1000}$=$\frac{100}{1000}$=$\frac{1}{10}$.
方法2(阃接法) 记“随机抽取一份保
单，索赔次数不少于2”为事件A,
则P(A)=1−$\frac{800+100}{1000}$=$\frac{1}{10}$1
(2)(i)由题知x的所有可能取值为0.4,
−0.4,−1.2,−2.0,−2.6,
则P(X=0.4)=$\frac{800}{1000}$=0.8,
P(X=−0.4)=$\frac{100}{1000}$=0.1,
P(x=−1.2)=$\frac{60}{1000}$=0.06,
P(X=−2.0)=$\frac{30}{1000}$=0.03,
P(X=−2.6)=$\frac{10}{1000}$=0.01,
变式 故E(x)=0.4×0.8−0.4×0.1−1.2×
探源0.06−2.0×0.03−2.6×0.01=0.122.
(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,
有索赔的保单的保费增加20%,这种情况
下一份保单毛利润的数学期望估计值比
(i)中E(X)估计值大,
证明如下;
设调整保费后一份保单的毛利润(单位;
万元)为Y,则对于索赔次数为0的保单，
Y=0.4×(1−4%)=0.384,
对于索赔次数为1的保单,Y=0.4×(1+
20%)−0.8=−0.32,
对于索赔次数为2的保单,Y=−0.32−
0.8=−1.12,
对于索赔次数为3的保单,Y=−1.12−
0.8=−1.92,
对于索赔次数为4的保单,Y=−1.92−
0.6=−2.52,
故E(Y)=0.384×0.8−0.32×0.1−
1.12×0.06−1.92×0.03−2.52×
0.01=0.1252.
所以E(X)＜E(Y),
考向2期望与方差的应用

答案：
(1) $\frac{1}{10}$，
(2) (i) $0.122$，(ii) $E(X) ＜ E(Y)$。