《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

3利用两条直线垂直，构建空间直角坐标系
例3 (2023.全国乙卷)如
图6−5,三棱锥P−ABC中,AB⊥
BC,AB=2,BC=2√2,PB=

PC=√6,BP,AP,BC的中点分
别为D,E,0,AD=√5D0,点F
在AC上,BF⊥AO.
(1)证明:EF//平面ADO;
(2)证明:平面ADO⊥平面BEF;
(3)求二面角D−AO−C的正弦值.

答案：
解析》
(1)如图6−6,因为AB⊥BC,
(将底面从直观图中“抽取”出来)
AB=2,BC=2√2,0是BC的中点,所

以$\frac{AB}{BC}$=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{√}{2}$,
所以△OBA∽△ABC.
记BF与AO的交点为H,则∠BHA=90°,又∠ABC=
90°,∠BAH=∠OAB,
所以△BHA∽△OBA,
所以△BHA∽△ABC,所以∠HBA=∠CAB,又∠C+
∠CAB=90°,∠CBF+∠HBA=90°,所以∠C=
∠CBF,所以CF=BF,
同理可得BF=FA,所以F是AC的中点.
因为E,F分别是AP,AC的中点,所以EF//PC,
同理可得OD//PC,所以EF//OD,
又ODC平面ADO,EFn平面ADO,
所以EF//平面ADO.
(2)AO=√AB²+BO²²=√6,OD=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{√6}{2}$,
又AD=√50D=孕,
所以AD²=AO2+OD²,所以AO⊥OD.
由于EF//OD,所以AO⊥EF，
又BF⊥AO,BF∩EF=F,BFC平面BEF,EFC平面
BEF,所以AO⊥平面BEF.
又AOC平面ADO,所以平面ADO⊥平面BEF.
(3)如图6−7,以B为坐
标原点,BA,BC所在直线
分别为x,y轴,建立空间
直角坐标系，则B(0,0,0)，

A(2,0,0),0(0,√2,0),Aδ=
(−2，√2,0).
因为PB=PC,BC=2√2,
所以设P(x,√2,z),z＞0,
则BE=BA+AE=BA+

$\frac{1}{2}$

A

P=(2,0,0)+$\frac{1}{2}$(x−2,
√2,z)=($\frac{x+2}{2}$,$\frac{Z}{2}$),
由
(2)知A0⊥BE,所以AO.BE=(−2,√2,'0).($\frac{x+2}{2}$,,
$\frac{1}{2}$$\frac{z}{2}$)=0,所以x=−11,
又PB=6,BP=(x,√2,z),所以x²+2+2²=6,所以z=√3,则P(−1,√2,√3).
由D为BP的中点,得D(−$\frac{1}{2}$'2”$\frac{√}{2}$),
则AD=(−$\frac{5}{2}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$).
设平面DAO的法向量为n=(a,b,c),
则{nn,,..AA0D==00,,即 −a2 +2b+2c=0,得b=√2a,{
−2a+√2b=0,
c=√3a,
取a=1,则n1=(1,√2,√3).
易知平面CAO的一个法向量为n2=(0,0,1)，
设二面角D−AO−C的大小为θ,则1cosθ1=
1cos＜n,n2＞1=$\frac{n.n1}{1n，11n1}$==$\frac{√}{2}$,
1 2 √
一
所以sinθ=/1−$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$,
故二面角D−AO−C的正弦值为$\frac{1}{2}$