《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

1. (2025·广东省广州市期中)设点M是△ABC的重心,记$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{c}$,则$\overrightarrow{AM}=$()

A.$\dfrac{\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}}{2}$
B.$\dfrac{\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}}{2}$
C.$\dfrac{\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}}{3}$
D.$\dfrac{\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}}{3}$

答案： 1.D 设D是BC边的中点，连接AD，
∵M是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$.而$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}(c - b)$，
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}(c - b)$.

2. (2025·福建省莆田市第十五中学期中)如图6.1-22,在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中,E为BC延长线上一点,$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{CE}$,则$\overrightarrow{D_1E}=$(A)


A.$\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA_1}$
B.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA_1}$
C.$\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}$
D.$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AA_1}$

答案： 2.A
∵$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{CE}$，
∴$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AA_1}-\overrightarrow{AD}+$（替换向量时，注意向量的方向）$\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA_1}$，故选A.

例16 如图6.1-23所示,正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为1,M,$M_1$分别是DC,$B_1C_1$的中点,求$\overrightarrow{MM_1}·\overrightarrow{AB}$.

答案：
解析 方法1 易知$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AA_1}|=1$,且$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{AA_1}$两两互相垂直,
因为$\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CC_1}+C_1M_1=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA_1}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$,
所以$\overrightarrow{MM_1}·\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AA_1}·\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2=\dfrac{1}{2}$.
方法2 取BC的中点为Q,连接MQ,则$\overrightarrow{MM_1}$在平面ABCD上的投影向量为$\overrightarrow{MQ}$,
由向量数量积的几何意义知$\overrightarrow{MM_1}·\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MQ}·\overrightarrow{AB}$.
($\overrightarrow{MM_1}$与$\overrightarrow{AB}$的数量积就是$\overrightarrow{MM_1}$在平面ABCD上的投影向量$\overrightarrow{MQ}$与$\overrightarrow{AB}$的数量积)
易知$|\overrightarrow{MQ}|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,$|\overrightarrow{AB}|=1$,$\langle\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{AB}\rangle=45°$,
所以$\overrightarrow{MM_1}·\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MQ}·\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{MQ}||\overrightarrow{AB}|·\cos\langle\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{AB}\rangle=\dfrac{\sqrt{2}}{2}×1×\cos45°=\dfrac{1}{2}$.

例17 如图6.1-24所示,已知四面体ABCD的每条棱的长度都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,求下列向量的数量积.
(1)$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$;(2)$\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{BD}$;
(3)$\overrightarrow{GF}·\overrightarrow{AC}$;(4)$\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{BC}$.

答案： 解析 方法1 由题意知,四面体ABCD为正四面体.
(1)
∵ $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=a$,$\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle=60°$,
∴ $\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=a^2\cos60°=\dfrac{1}{2}a^2$.
(2)
∵ $|\overrightarrow{AD}|=a$,$|\overrightarrow{BD}|=a$,$\langle\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BD}\rangle=60°$,
(等于$\langle\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\rangle=60°$)
∴ $\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{BD}=a^2\cos60°=\dfrac{1}{2}a^2$.
(3)由题意知$|\overrightarrow{GF}|=\dfrac{1}{2}a$,$|\overrightarrow{AC}|=a$,
∵ $\overrightarrow{GF}//\overrightarrow{AC}$且$\overrightarrow{GF}$与$\overrightarrow{AC}$反向,
∴ $\langle\overrightarrow{GF},\overrightarrow{AC}\rangle=180°$,
([易错点]求向量的数量积时,要注意观察图形,明确向量的方向,正确求出夹角)
∴ $\overrightarrow{GF}·\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}a^2\cos180°=-\dfrac{1}{2}a^2$.
(4)由题意知$|\overrightarrow{EF}|=\dfrac{1}{2}a$,$|\overrightarrow{BC}|=a$,$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{BD}$同向,
∴ $\langle\overrightarrow{EF},\overrightarrow{BC}\rangle=\langle\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC}\rangle=60°$,
∴ $\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}a^2\cos60°=\dfrac{1}{4}a^2$.
方法2 记$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{c}$,则由题意可知$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=a$,$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=60°$,故$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}=a· a\cos60°=\dfrac{a^2}{2}$.
(1)$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\dfrac{a^2}{2}$.
(2)
∵ $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}$,
∴ $\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{c}·(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})=\boldsymbol{c}^2-\boldsymbol{c}·\boldsymbol{a}=a^2-\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{a^2}{2}$.
(3)$\overrightarrow{GF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}=-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{b}$,
∴ $\overrightarrow{GF}·\overrightarrow{AC}=\left(-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{b}\right)·\boldsymbol{b}=-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{b}^2=-\dfrac{1}{2}a^2$.
(4)
∵ $\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})$,$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$,
∴ $\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{c}·\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}·\boldsymbol{a}-\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}^2)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}a^2+a^2\right)=\dfrac{1}{4}a^2$.