《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例11 (2025·河北省石家庄市期末) 设X是一个离散型随机变量, 其分布列如下, 则q等于 ()


A.1
B.$1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$1+\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： 解析 由分布列的性质得,
$\begin{cases} 1-2q \geq 0, \\ q^2 \geq 0, \\ 0.5 + 1 - 2q + q^2 = 1, \end{cases}$
解得$q=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
答案 C

例12 若离散型随机变量X的分布列为
$P(X=k)=a \log_2 \frac{k+1}{k} (1 \leq k \leq 7, k \in \mathbf{Z})$, 则
$P(2 ＜ X \leq 5)=$ ()

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{3} \log_2 \frac{5}{3}$

答案： 解析 因为$P(X=k)=a \log_2 \frac{k+1}{k}=a[\log_2(k+1)-\log_2 k] (1 \leq k \leq 7, k \in \mathbf{Z})$,
$P(X=1)+P(X=2)+·s+P(X=7)=1$,
所以$a(\log_2 2 - \log_2 1 + \log_2 3 - \log_2 2 + ·s + \log_2 8 - \log_2 7)=3a=1$, 解得$a=\frac{1}{3}$,
所以$P(2 ＜ X \leq 5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=\frac{1}{3} \log_2 \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \log_2 \frac{5}{4} + \frac{1}{3} \log_2 \frac{6}{5} = \frac{1}{3}$.
答案 C

4. (2025·广东省东莞市期中) 已知随机变量X的分布列为$P(X=k)=\frac{a}{2^k}, k=1,2,·s,5$, 则$P(3 \leq X \leq 4)=$ (A)

A.$\frac{6}{31}$
B.$\frac{8}{31}$
C.$\frac{10}{31}$
D.$\frac{12}{31}$

答案： 4.A $\because$随机变量$X$的分布列为$P(X = k)=\frac{a}{2^{k}},k = 1,2,·s,5$，
$\therefore\frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} + \frac{a}{16} + \frac{a}{32} = \frac{31}{32}a = 1$,解得$a = \frac{32}{31}$，
$\therefore P(3 \leqslant X \leqslant 4) = P(X = 3) + P(X = 4) = \frac{31}{2^{3}} + \frac{31}{2^{4}} = \frac{6}{31}$.

例13 (2025·福建省南平市期中) 已知离散型随机变量X服从两点分布, 且$P(X=0)=3-4P(X=1)=a$, 则a= ()

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$

答案： 解析 因为X的分布列服从两点分布,
所以$P(X=0)+P(X=1)=1$.
因为$P(X=0)=3-4P(X=1)=a$,
所以$P(X=0)=3-4[1-P(X=0)]$,
所以$P(X=0)=\frac{1}{3}$, 所以$a=\frac{1}{3}$.
答案 C

例14 一个袋子中装有7个大小形状完全相同的小球, 其中红球3个, 黑球3个, 白球1个. 从袋子中随机取出3个球, 记其中白球的个数为ξ, 则$P(\xi=1)=$ .

答案： 解析 由题意知, ξ的取值范围是{0,1}, 故ξ服从两点分布, 且$P(\xi=0)=\frac{C_{6}^{3}}{C_{7}^{3}}=\frac{4}{7}$, 则$P(\xi=1)=1-P(\xi=0)=1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}$. (当然, 我们也可以直接求解, $P(\xi=1)=\frac{C_{6}^{2}}{C_{7}^{3}}=\frac{3}{7}$)
答案 $\frac{3}{7}$