《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

1. 甲、乙两人利用周末时间去附近的汽车专卖店免费体验，若当天到场一共10名体验者，由于场地和车辆有限，现要从这10名体验者中选出4人来免费体验，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为(A)

A.$\frac {1}{3}$
B.$\frac {2}{5}$
C.$\frac {3}{5}$
D.$\frac {2}{3}$

答案： 1.A 记$A$，$B$分别表示“甲被选中”和“乙被选中”，
$\therefore P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5},P(AB)=\frac{C_8^2}{C_{10}^4}=\frac{2}{15}$，
$\therefore$在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{2}{15}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{3}$.故选A.

2.(2025·河南省九师联盟月考)A，B，C，D 4位同学报名参加学校组织的暑期社会实践活动，这次社会实践活动共有交通安全宣传、防火知识宣传、防水安全教育、养老院志愿者服务、国情宣传教育共5个项目，每人报且仅报其中一个项目.记事件M为“4名同学所报项目互不相同”，事件N为“仅有A报了防火知识宣传”，则$P(M|N)=$$\frac{3}{8}$.

答案： 2.$\frac{3}{8}$ 由题意，事件$M$为“$4$名同学所报项目互不相同”，事件$N$为“仅有$A$报了防火知识宣传”，
可得$P(MN)=\frac{A_4^3}{5^4},P(N)=\frac{4^3}{5^4}$，
所以$P(M|N)=\frac{P(MN)}{P(N)}=\frac{A_4^3}{4^3}=\frac{3}{8}$.

例7 [教材改编 P104 T2]已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同.
（1）先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次摸到的均为黑球的概率；
（2）从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第三次才摸到黑球的概率.

答案： 解析 设事件$A_{i}$表示第i次摸到的是黑球$(i=1,2,$3），则事件$A_{1}A_{2}$表示两次摸到的均为黑球.
（1）由题意知$P(A_{1})=\frac {3}{10},P(A_{2}|A_{1})=\frac {2}{9}.$
于是，根据乘法公式，有$P(A_{1}A_{2})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})=\frac {3}{10}×$$\frac {2}{9}=\frac {1}{15}.$
所以先后两次从中不放回地各摸出一球，两次摸到的均为黑球的概率为$\frac {1}{15}.$
（2）设事件A表示第三次才摸到黑球，则$A=\overline {A}_{1}\overline {A}_{2}A_{3}.$
由题意知$P(\overline {A}_{1})=\frac {7}{10},P(\overline {A}_{2}|\overline {A}_{1})=\frac {6}{9},$$P(A_{3}|\overline {A}_{1}\overline {A}_{2})=\frac {3}{8}.$
于是，有$P(\overline {A}_{1}\overline {A}_{2}A_{3})=P(\overline {A}_{1})P(\overline {A}_{2}|\overline {A}_{1})P(A_{3}|\overline {A}_{1}\overline {A}_{2})=$$\frac {7}{10}×\frac {6}{9}×\frac {3}{8}=\frac {7}{40}$.（乘法公式的推广）
所以从中不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球的概率为$\frac {7}{40}.$

[教材改编 P109 T7]袋中装有4个黑球，4个白球，从中随机取出1个球记下颜色后放回，再往袋中加入与取出的球同色的球2个，搅拌均匀后按同样的方式取球并加入球，一共重复三次.
（1）求前两次取出的球均为黑球，且第三次取出的球为白球的概率$P_{1};$
（2）求三次中恰好有两次取出的球为黑球的概率$P_{2}.$

答案： 解析 记第i次取到黑球为$A_{i}$，取到白球为$B_{i}$，其中$i=1,2,3$.则$P(A_{1})=P(B_{1})=\frac {1}{2}.$
在第一次取出黑球的情况下，第二次取出黑球的概率即从6黑4白中取出黑球的概率，所以$P(A_{2}|$$A_{1})=\frac {6}{10}$.每个条件概率都可以用这样的方式计算.
（1）由乘法公式知$P_{1}=P(A_{1}A_{2}B_{3})=$$P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(B_{3}|A_{1}A_{2})=\frac {1}{2}×\frac {6}{10}×\frac {4}{10+2}=\frac {1}{10}.$
（2）由互斥事件的概率加法公式知$P_{2}=P(A_{1}A_{2}B_{3})+$$P(A_{1}B_{2}A_{3})+P(B_{1}A_{2}A_{3}).$
与（1）类似知$P(A_{1}B_{2}A_{3})=\frac {4}{8}×\frac {4}{8+2}×\frac {6}{10+2}=\frac {1}{10},$$P(B_{1}A_{2}A_{3})=\frac {4}{8}×\frac {4}{8+2}×\frac {4+2}{10+2}=\frac {1}{10}.$
所以$P_{2}=\frac {3}{10}.$