《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例5-8 (2025·吉林省四平市第三高级中学期末)已知$A(2,2,0)$，$B(1,4,2)$，$C(0,0,1)$，则原点$O$到平面$ABC$的距离为.

答案： 解析 由题意得$\overrightarrow{AB}=(-1,2,2)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,-2,1)$.
设平面$ABC$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
则$\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{n}·\overrightarrow{AB}=-x+2y+2z=0,\\ \boldsymbol{n}·\overrightarrow{AC}=-2x-2y+z=0,\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} x=-2y,\\ z=-2y.\end{array}\right. $
令$y=-1$，得$x=z=2$.
∴$\boldsymbol{n}=(2,-1,2)$是平面$ABC$的一个法向量.
又$\overrightarrow{OA}=(2,2,0)$，
∴原点$O$到平面$ABC$的距离$d=\dfrac{|\overrightarrow{OA}·\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\dfrac{2}{3}$.
答案 $\dfrac{2}{3}$

例5-9 (2025·河北省保定市月考)若正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为1，则直线$A_{1}C_{1}$到平面$ACD_{1}$的距离为()
A.1
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\sqrt{3}$

答案： 解析 易得$A_{1}C_{1}//$平面$ACD_{1}$，则点$A_{1}$到平面$ACD_{1}$的距离即直线$A_{1}C_{1}$到平面$ACD_{1}$的距离.建立如图6.3-13所示的空间直角坐标系，易得$\overrightarrow{AA_{1}}=(0,0,1)$，平面$ACD_{1}$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(1,1,1)$，故所求的距离为$\dfrac{|\overrightarrow{AA_{1}}·\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
答案 B

例5-10 在长方体$OABC-O_{1}A_{1}B_{1}C_{1}$中，$OA=2$，$AB=3$，$AA_{1}=2$，$Q$为$O_{1}C$与$OC_{1}$的交点，求点$Q$到直线$AC$的距离.

答案： 解析 建立如图6.3-14所示的空间直角坐标系，则$A(2,0,0)$，$C(0,3,0)$，$Q(0,\dfrac{3}{2},1)$，所以$\overrightarrow{AC}=(-2,3,0)$，$\overrightarrow{QC}=(0,\dfrac{3}{2},-1)$，
则$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{QC}|=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$，故点$Q$到直线$AC$的距离$d=\sqrt{|\overrightarrow{QC}|^{2}-(\dfrac{\overrightarrow{QC}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})^{2}}=\sqrt{\dfrac{13}{4}-\dfrac{81}{52}}=\dfrac{\sqrt{286}}{13}$.

例6-11 如图6.3-15，四边形$ABCD$为菱形，$\angle ABC=120^{\circ}$，$E$，$F$是平面$ABCD$同一侧的两点，$BE\perp$平面$ABCD$，$DF\perp$平面$ABCD$，$BE=2DF$，$AE\perp EC$.证明：平面$AEC\perp$平面$AFC$.

答案：
解析 如图6.3-16所示，连接$BD$，设$BD\cap AC=G$，连接$EG$，$FG$.
在菱形$ABCD$中，不妨设$GB=GD=1$.
由$\angle ABC=120^{\circ}$，可得$AG=GC=\sqrt{3}$.
因为$AE\perp EC$，所以$EG=AG=\sqrt{3}$.
因为$BE\perp$平面$ABCD$，所以$BE\perp BG$，
所以$BE=\sqrt{2}$，所以$DF=\dfrac{1}{2}BE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
以$G$为原点，分别以$\overrightarrow{GB}$，$\overrightarrow{GC}$的方向为$x$轴，$y$轴正方向，建立空间直角坐标系，如图6.3-16.

则$G(0,0,0)$，$E(1,0,\sqrt{2})$，$A(0,-\sqrt{3},0)$，$C(0,\sqrt{3},0)$，$F(-1,0,\dfrac{\sqrt{2}}{2})$，
所以$\overrightarrow{GE}=(1,0,\sqrt{2})$，$\overrightarrow{AC}=(0,2\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{GF}=(-1,0,\dfrac{\sqrt{2}}{2})$.
所以$\overrightarrow{GE}·\overrightarrow{AC}=0$，$\overrightarrow{GE}·\overrightarrow{GF}=-1+1=0$，
所以$GE\perp AC$，$GE\perp GF$.
又$AC\cap GF=G$，所以$GE\perp$平面$AFC$.
因为$GE\subset$平面$AEC$，所以平面$AEC\perp$平面$AFC$.