《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例5-12 [教材改编P15T1] 如图6.1-19，空间四边形$ABCD$中，$E$，$F$分别为$AB$，$CD$的中点. 证明：$EF$，$BC$，$AD$平行于同一平面.

答案： 解析 $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DF}$ ①，
$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CF}$ ②，
因为$E$，$F$分别是$AB$，$CD$的中点，故有$\overrightarrow{EA} = -\overrightarrow{EB}$ ③，$\overrightarrow{DF} = -\overrightarrow{CF}$ ④，
将③，④代入①后再与②相加得$2\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}$，即$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
因为$\overrightarrow{EF}$可由$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BC}$线性表示，所以$EF$，$AD$，$BC$平行于同一平面.

例6-13 (2025·江苏省高邮市调研) 已知$O$是平面内任意一点，$\alpha$是任意角，则下列等式一定可以判定$A$，$B$，$C$三点共线的是()

A.$\overrightarrow{OC} = \sin \alpha \overrightarrow{OA} + \cos \alpha \overrightarrow{OB}$
B.$\overrightarrow{OC} = \sin^2 \alpha \overrightarrow{OA} + \cos^2 \alpha \overrightarrow{OB}$
C.$\overrightarrow{OC} = \sin \alpha \overrightarrow{OA} - \cos \alpha \overrightarrow{OB}$
D.$\overrightarrow{OC} = \sin^2 \alpha \overrightarrow{OA} - \cos^2 \alpha \overrightarrow{OB}$

答案： 解析 在$\overrightarrow{OC} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$中，当$x + y = 1$时，$A$，$B$，$C$三点共线.
因为$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$，所以选项B可以判定$A$，$B$，$C$三点共线.
答案 B

例6-14 [教材改编P17T6] 已知$O$是坐标原点，对于空间中任意一点$P$和不共线的三点$A$，$B$，$C$，满足$9\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} + 5\overrightarrow{OC}$，则（）

A.$P$，$A$，$B$，$C$四点共面
B.$O$，$A$，$B$，$C$四点共面
C.$O$，$P$，$B$，$C$四点共面
D.$O$，$P$，$A$，$B$，$C$五点共面

答案： 解析 方法1 由$9\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} + 5\overrightarrow{OC}$，得$(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) + 3(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}) + 5(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OC}) = 0$，则$\overrightarrow{AP} = -3\overrightarrow{BP} - 5\overrightarrow{CP}$，由共面向量定理可得$P$，$A$，$B$，$C$四点共面.
方法2 由$9\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} + 5\overrightarrow{OC}$，
得$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{9}\overrightarrow{OB} + \frac{5}{9}\overrightarrow{OC}$，$\frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{5}{9} = 1$，由共面向量定理的推论知，$P$，$A$，$B$，$C$四点共面.
答案 A