《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

2.在由1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位上的数字之和为奇数的数共有 （B）

A.36个
B.24个
C.18个
D.6个

答案： 2.B 数字之和为奇数有两种可能：①“三奇”，可组成的数有$A_{3}^{3}=6$（个）；②“两偶一奇”，可组成的数有$3· A_{3}^{2}=18$（个）.由分类计数原理得，各数位上的数字之和为奇数的数共有$6 + 18 = 24$（个）.

例 7 [教材改编 P94 T10]甲、乙等6个人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站最右端，也不站最左端；
(2)甲、乙站在两端；
(3)甲不站最左端，乙不站最右端。

答案： 解析▶
(1)方法1（位置分析法） 因为甲不站左、右两端，故先从甲以外的5个人中任选2个人站在左、右两端，有$A_{5}^{2}$种站法，再让剩下的4个人站在中间的4个位置上，有$A_{4}^{4}$种站法。
由分步计数原理知，不同的站法共有$A_{5}^{2}A_{4}^{4}=480$（种）。
方法2（元素分析法） 因为甲不能站左、右两端，故先让甲站在除左、右两端之外的任一位置上，有$A_{4}^{1}$种站法，再让余下的5个人站在其他5个位置上，有$A_{5}^{5}$种站法，故不同的站法共有$A_{4}^{1}A_{5}^{5}=480$（种）。
方法3（排除法） 在排列时，不考虑甲站位的要求，有$A_{6}^{6}$种站法，但其中包含甲站在最左端或最右端的情况，甲在最左端或最右端有$2A_{5}^{5}$种站法，于是不同的站法共有$A_{6}^{6}-2A_{5}^{5}=480$（种）。
(2)方法1（元素分析法） 首先考虑特殊对象，先让甲、乙站在两端，有$A_{2}^{2}$种站法，再让其他4个人在中间4个位置进行全排列，有$A_{4}^{4}$种站法。根据分步计数原理知，不同的站法共有$A_{2}^{2}A_{4}^{4}=48$（种）。
方法2（位置分析法） 首先考虑两端的两个位置，由甲、乙去站，有$A_{2}^{2}$种站法，再考虑中间的4个位置，由剩下的4个人去站，有$A_{4}^{4}$种站法。
根据分步计数原理知，不同的站法共有$A_{2}^{2}A_{4}^{4}=48$（种）。
(3)方法1（元素分析法） 以甲的位置为依据，可分两类：第一类，甲在最右端，有$A_{5}^{5}$种站法；第二类，甲站在中间4个位置中的任一位置，且乙不站最右端，则可先排甲后排乙，再排其余4个，有$A_{4}^{1}A_{4}^{1}A_{4}^{4}$种站法。故不同的站法共有$A_{5}^{5}+A_{4}^{1}A_{4}^{1}A_{4}^{4}=504$（种）。
方法2（元素分析法） 根据题意，可分为4种情况：
①甲、乙既不站在最左端，也不站在最右端，有$A_{4}^{2}A_{4}^{4}$种站法；
②甲站在最右端，乙不站在最左端，有$A_{4}^{1}A_{4}^{4}$种站法；
③乙站在最左端，甲不站在最右端，有$A_{4}^{1}A_{4}^{4}$种站法；
④甲站在最右端，乙站在最左端，有$A_{4}^{4}$种站法。
根据分类计数原理知，不同的站法共有$A_{4}^{2}A_{4}^{4}+$$A_{4}^{1}A_{4}^{4}+A_{4}^{1}A_{4}^{4}+A_{4}^{4}=504$（种）。
方法3（排除法） 在排列时，先不考虑甲、乙站位的要求，有$A_{6}^{6}$种站法，甲在最左端的站法有$A_{5}^{5}$种，乙在最右端的站法有$A_{5}^{5}$种，而甲在最左端且乙在最右端的站法有$A_{4}^{4}$种，故不同的站法共有$A_{6}^{6}-2A_{5}^{5}+$$A_{4}^{4}=504$（种）。
（加$A_{4}^{4}$是因为甲站左端乙站右端的情况被排除了两次）