《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例3-5 [教材改编 P35 T1]根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)直线$l_{1},l_{2}$的方向向量分别是$\boldsymbol{a}=(1,-3,-1)$，$\boldsymbol{b}=(8,2,2)$；
(2)直线$l_{1}$与$l_{2}$的方向向量分别是$\boldsymbol{a}=(-2,1,4)$，$\boldsymbol{b}=(6,3,3)$；
(3)直线$l$的方向向量、平面$\alpha$的法向量分别是$\boldsymbol{a}=(1,-4,-3)$，$\boldsymbol{u}=(2,0,3)$；
(4)直线$l$的方向向量、平面$\alpha$的法向量分别是$\boldsymbol{a}=(3,2,1)$，$\boldsymbol{u}=(-1,2,-1)$；
(5)平面$\alpha$，$\beta$的法向量分别是$\boldsymbol{u}=(1,3,0)$，$\boldsymbol{v}=(-3,-9,0)$；
(6)平面$\alpha$与$\beta$的法向量分别是$\boldsymbol{u}=(1,-1,2)$，$\boldsymbol{v}=(3,2,-\dfrac{1}{2})$.

答案： 解析
(1)
∵$\boldsymbol{a}=(1,-3,-1)$，$\boldsymbol{b}=(8,2,2)$，
∴$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=8-6-2=0$，
∴$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，即$l_{1}\perp l_{2}$.
(2)
∵$\boldsymbol{a}=(-2,1,4)$，$\boldsymbol{b}=(6,3,3)$，
∴$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}\neq0$且$\boldsymbol{a}\neq k\boldsymbol{b}(k\in\mathbf{R})$，
∴$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$既不共线也不垂直，即$l_{1}$与$l_{2}$相交但不垂直或异面但不垂直.
(3)
∵$\boldsymbol{a}=(1,-4,-3)$，$\boldsymbol{u}=(2,0,3)$，
∴$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{u}\neq0$且$\boldsymbol{a}\neq k\boldsymbol{u}(k\in\mathbf{R})$，
∴$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{u}$既不共线也不垂直，
即$l$与$\alpha$相交但不垂直.
(4)
∵$\boldsymbol{a}=(3,2,1)$，$\boldsymbol{u}=(-1,2,-1)$，
∴$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{u}=-3+4-1=0$，
∴$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{u}$，即$l//\alpha$或$l$在$\alpha$内.
(5)
∵$\boldsymbol{u}=(1,3,0)$，$\boldsymbol{v}=(-3,-9,0)$，
∴$\boldsymbol{v}=-3\boldsymbol{u}$，
∴$\boldsymbol{v}//\boldsymbol{u}$，
即$\alpha//\beta$或$\alpha$与$\beta$重合.
(6)
∵$\boldsymbol{u}=(1,-1,2)$，$\boldsymbol{v}=(3,2,-\dfrac{1}{2})$，
∴$\boldsymbol{u}·\boldsymbol{v}=3-2-1=0$，
∴$\boldsymbol{u}\perp\boldsymbol{v}$，即$\alpha\perp\beta$.