《2025年教材帮高中数学选择性必修第二册苏教版》

例18 (2025·全国二卷节选)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每个球甲胜的概率为p($\frac{1}{2}＜p＜1$)，乙胜的概率为q，p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数k≥2，记$p_k$为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，$q_k$为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率.
(1)求$p_3,p_4$(用p表示)；
(2)若$\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4$，求p.

答案： 解析
(1)打完3个球后甲比乙至少多得2分，只有一种情况：甲全胜得3分.所以$p_3=p^3$.
打完4个球后甲比乙至少多得2分，有两种情况：甲全胜得4分或甲胜3个球得3分，乙胜1个球得1分.
所以$p_4=p^4+C_4^3·p^3(1-p)=p^3(4-3p)$.
(2)由
(1)可知$p_4-p_3=p^3(4-3p)-p^3=3p^3(1-p)$，
同理$q_4-q_3=3q^3(1-q)=3p(1-p)^3$.（考虑每个球甲胜的概率p和每个球乙胜的概率q是对等的，所以可直接类比得出$q_4-q_3$）
由$\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4$，可得$\frac{3p^3(1-p)}{3p(1-p)^3}=\frac{p^2}{(1-p)^2}=4$，
即3p²-8p+4=0，解得p=$\frac{2}{3}$或p=2(舍去).
所以p=$\frac{2}{3}$.

例19 (2025·上海节选)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌，以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列.
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率.

答案： 解析
(1)这组数据的极差为216.93-206.78=10.15，中位数为$\frac{209.35+210.68}{2}=210.015$.
(2)记“从这10个数据中任选3个，恰有2个数据在211以上”为事件A，
由题可知，这10个数据中在211以上的有4个，故P(A)=$\frac{C_4^2C_6^1}{C_{10}^3}=\frac{6×6}{120}=\frac{3}{10}$.

1.[多选题](2025·福建省福州高级中学月考)下列说法不正确的是(AC)

A.随机变量X~B(3,0.2)，则P(X=2)=0.032
B.某人在10次射击中，击中目标的次数为X且X~B(10,0.8)，则当X=8时概率最大
C.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D.从10个红球和20个白球(除颜色外完全相同)中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布

答案： 1.AC 由二项分布的概率公式得，$P(X=2)=C_{10}^20.2^2×0.8=0.096$，故A错误.
在$10$次射击中击中目标的次数$X\sim B(10,0.8)$，
当$X=k$时对应的概率$P(X=k)=C_{10}^k0.8^k0.2^{10-k}$，
所以当$k\geqslant1$时，$\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)}=\frac{4(11-k)}{k}$.
由$\frac{4(11-k)}{k}\geqslant1$得$44-4k\geqslant k$，即$1\leqslant k\leqslant\frac{44}{5}$，
又$k\in N$，故$k=8$时概率$P(X=8)$最大，故B正确.
至少有一个黑球包含的基本事件为“一黑一红”“两黑”，至少有一
个红球包含的基本事件为“一黑一红”“两红”，故至少有一个黑球
与至少有一个红球不互斥，故C错误.
设摸出红球的个数为$k$，则$P(X=k)=\frac{C_{10}^kC_{20}^{5-k}}{C_{30}^5}(k=0,1,2,3,4,5)$，满足超几何分布，故D正确.故选AC.

2.[多选题](2025·山东省烟台市期中)袋子中装有大小、形状完全相同的6个白球和4个黑球，现从中有放回地随机取球3次，每次取一个球，每次取到白球得0分，黑球得5分，设3次取球总得分为X，则(BC)

A.3次中恰有2次取得白球的概率为$\frac{36}{125}$
B.P(X＞5)=$\frac{44}{125}$
C.E(X)=6
D.D(X)=$\frac{18}{25}$

答案： 2.BC 设$3$次取球取到白球的个数为$\xi$，又每次取到白球的概率
$p=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，由题意可得，$\xi\sim B(3,\frac{3}{5})$，且$X=0×\xi+5(3-\xi)=15-5\xi$.
对于A，$P(\xi=2)=C_3^2×(\frac{3}{5})^2×\frac{2}{5}=\frac{54}{125}$，故A错误；
对于B，令$X=15-5\xi＞5$，解得$\xi＜2$，故$\xi=0$或$\xi=1$，所以
$P(X＞5)=P(\xi=0)+P(\xi=1)=1-[P(\xi=2)+P(\xi=3)]=1-[\frac{54}{125}+(\frac{3}{5})^3]=\frac{44}{125}$，故B正确；
对于C，因为$E(\xi)=3×\frac{3}{5}=\frac{9}{5}$，所以$E(X)=E(15-5\xi)=15-5E(\xi)=15-5×\frac{9}{5}=6$，故C正确；
对于D，因为$D(\xi)=3×\frac{3}{5}×(1-\frac{3}{5})=\frac{18}{25}$，所以$D(X)=D(15-5\xi)=25D(\xi)=25×\frac{18}{25}=18$，故D错误.
故选BC.