《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

突破点一 用提公因式法分解因式
【例1】分解因式：
(1) $ 7x^3y + 21xy^3 $；
(2) $ 2a(x + y)^2 - 4a(x + y) $；
(3) $ 6(x - y)^8 - 3(y - x)^9 $.
解：
【规律方法】
(1) 找出公因式是提取公因式的关键，公因式的系数是多项式各项系数绝对值的最大公因数；公因式的字母是多项式各项都含有的字母；公因式中字母的次数是各项相同字母的最低次数.
(2) 提取公因式后，可用整式乘法来验证其是否正确.

答案： 解：
(1)原式$=7xy(x^{2}+3y^{2})$.
(2)原式$=2a(x + y)(x + y - 2)$.
(3)原式$=3(y - x)^{8}(2 + x - y)$.

1. 把下列各式分解因式：
(1) $ x(x - y)^2 - y(y - x) $；
(2) $ 21x^my^{n + 2} - 14x^{m - 3}y^{n + 1} $.

答案： $(1)$ 分解因式$x(x - y)^2 - y(y - x)$
解：
因为$(y - x)=-(x - y)$，所以原式可化为：
$x(x - y)^2 + y(x - y)$
提取公因式$(x - y)$，根据提取公因式公式$ma+mb=m(a + b)$（这里$m=(x - y)$，$a=x(x - y)$，$b = y$）可得：
$(x - y)[x(x - y)+y]$
去括号：
$(x - y)(x^{2}-xy + y)$
$(2)$ 分解因式$21x^my^{n + 2}-14x^{m - 3}y^{n + 1}$
解：
先提取公因式，公因式为$7x^{m - 3}y^{n + 1}$，根据提取公因式公式$ma+mb=m(a + b)$（这里$m = 7x^{m - 3}y^{n + 1}$，$a = 3x^{3}y$，$b=2$）可得：
$7x^{m - 3}y^{n + 1}(3x^{3}y - 2)$
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{(x - y)(x^{2}-xy + y)}$；$(2)$$\boldsymbol{7x^{m - 3}y^{n + 1}(3x^{3}y - 2)}$。

突破点二 提公因式法的应用
【例2】计算下列各题：
(1) $ 6.134×29 + 6.134×72 - 6.134 $；
(2) 长方形相邻两边的长分别为 $ x $ 和 $ y $，它的面积为 30，周长为 34，求 $ x^3y^2 + x^2y^3 $ 的值.
思路分析
思考1：式子 $ 6.134×29 + 6.134×72 - 6.134 $ 的公因式是6.134，提出公因式后剩下的式子是29 + 72 - 1.
思考2：由“面积为 30”可以列出的式子为$xy = 30$，由“周长为 34”可以列出的式子为$2(x + y)=34$，把 $ x^3y^2 + x^2y^3 $ 分解因式为$x^{2}y^{2}(x + y)$.
解：
【规律方法】
(1) 在用提公因式法进行化简计算时，找准公因式是关键，且要注意多项式中各项的符号.
(2) 在求多项式的值时，根据已给条件判断，若能整体代入，则可以使计算简便.

答案： 解：
(1)613.4.
(2)15 300.

2. 先分解因式，再求值：$ 30x^2(y + 4) - 15x(y + 4) $，其中 $ x = 2 $，$ y = - 2 $.

答案： 2.解：原式$=15x(y + 4)(2x - 1)$.
当$x = 2,y = - 2$时，原式$=180$.