《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

6. 如图，AD是∠BAC的平分线，∠B=∠EAC，ED⊥AD于点D。求证：ED平分∠AEB。

答案：
6.证明:如图,延长$AD$交$BC$于点$F$.
　　　　
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，
所以$\angle BAD = \angle CAD$.
因为$\angle DFE = \angle B + \angle BAD$，$\angle DAE = \angle EAC + \angle CAD$，$\angle B = \angle EAC$，
所以$\angle DFE = \angle DAE$，
所以$AE = FE$.
因为$ED\perp AD$，所以$ED$平分$\angle AEB$.

7. 如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE=AC，求证：∠BED=∠CAD。

答案：
7.证明:如图，延长$AD$到点$F$，使$DF = AD$，连接$BF$.

因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，
所以$BD = DC$.
在$\triangle ADC$和$\triangle FDB$中，
$\begin{cases}AD = FD\\\angle ADC = \angle FDB\\CD = BD\end{cases}$
所以$\triangle ADC\cong\triangle FDB(SAS)$，
所以$BF = AC$，$\angle CAD = \angle F$.
因为$BE = AC$，所以$BE = BF$，
所以$\angle F = \angle BED$，
所以$\angle BED = \angle CAD$.

8. 如图，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD，CE相交于点F，且AE=EF。求证：AB=CF。

答案：
8.证明:如图，延长$FD$至点$H$，使$FD = DH$，连接$BH$.
　　　　　　
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，
所以$BD = CD$.
在$\triangle BDH$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDH = \angle CDF\\DH = DF\end{cases}$
所以$\triangle BDH\cong\triangle CDF(SAS)$，
所以$\angle H = \angle CFD$，$CF = BH$.
因为$AE = EF$，所以$\angle EAF = \angle AFE$.
因为$\angle AFE = \angle CFD$，所以$\angle EAF = \angle H$，所以$AB = BH$，所以$AB = CF$.

9. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠ADB，AB=4，CD=7，则AC的长为(B)


A.10
B.11
C.12
D.15

答案： 9.B

10. 如图，已知E为△ABC内部一点，AE的延长线交边BC于点D，连接BE，CE，∠BED=∠BAC=2∠DEC。若AC=AB，求证：BE=2AE。

答案：
10.证明:如图,在$EB$上截取$EF = AE$，连接$AF$，设$\angle BED = 2\alpha$，
　　　　　
所以$\angle FAE = \angle AFE = \alpha$，$\angle DEC = \alpha$，所以$\angle AEC = \angle AFB$.
因为$\angle CAD + \angle BAD = \angle BAC = 2\alpha$，$\angle ABE + \angle BAD = \angle BED = 2\alpha$，
所以$\angle CAE = \angle ABE$.
在$\triangle CAE$和$\triangle ABF$中，
$\begin{cases}\angle AEC = \angle BFA\\\angle CAE = \angle ABF\\AC = BA\end{cases}$
所以$\triangle CAE\cong\triangle ABF(AAS)$，
所以$BF = AE = EF$，所以$BE = 2AE$.