《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

如图①、图②所示，分别是把正方形分割成了两个小正方形和两个长方形。
问题1：在图①中，边长为 $ a + b $ 的正方形的面积为$(a + b)^2$。
问题2：在图①中，四部分面积之和为$a^2 + 2ab + b^2$。
问题3：在图①中，根据“总面积等于四部分面积之和”能得到什么等式？
问题4：在图②中，用两种方法表示阴影部分的面积。
方法一：$(a - b)^2$，
方法二：$a^2 - 2ab + b^2$。
问题5：根据问题4能得到什么等式？

答案： 问题1：$(a + b)^2$；问题2：$a^2 + 2ab + b^2$；问题3：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；问题4：$(a - b)^2$，$a^2 - 2ab + b^2$；问题5：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

完全平方公式
(1)式子表示：$(a + b)^2 =$$a^2 + 2ab + b^2$，$(a - b)^2 =$$a^2 - 2ab + b^2$。
(2)语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。

答案：
(1)$a^2 + 2ab + b^2$，$a^2 - 2ab + b^2$；
(2)平方和，积的2倍

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

答案： 不变符号；改变符号

突破点一 用完全平方公式计算
【例1】计算：（1）$(5x + 3)^2$；（2）$(-2a - 5b)^2$；（3）$(1 - 2n^2)^2$；（4）$(x^2 - \frac{1}{2}y^2)^2$。
解：
| 规律方法 |
（1）完全平方公式口诀：首平方，尾平方，2倍乘积在中央。
（2）$(-a + b)^2$，$(-a - b)^2$ 在计算中易出现符号错误，可作如下变形：$(-a + b)^2 = (b - a)^2$，$(-a - b)^2 = (a + b)^2$。

答案： （1）$25x^2 + 30x + 9$；（2）$4a^2 + 20ab + 25b^2$；（3）$1 - 4n^2 + 4n^4$；（4）$x^4 - x^2y^2 + \frac{1}{4}y^4$

3. 已知 $x - y = 3$，$xy = 10$，则 $(x + y)^2$ 的值为（ ）

A.49
B.39
C.29
D.19

答案： 3. A