《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACP的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则线段EF，BE和CF的数量关系为EF = BE - CF。

答案： 1.$EF = BE - CF$

2. 如图，BD平分∠ABC交AC于点D，E为CD上一点，AD=DE，EF//BC交BD于点F，求证：AB=EF。

答案：
2.证明:如图,作$AM// EF$交$BD$的延长线于点$M$.
　　　　　
因为$EF// BC$，所以$BC// AM$，
所以$\angle M=\angle DBC$.
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD = \angle CBD$，所以$\angle M=\angle ABD$，
所以$AM = AB$.
因为$AM// EF$，所以$\angle M=\angle DFE$.
在$\triangle ADM$和$\triangle EDF$中，
$\begin{cases}\angle ADM = \angle EDF\\\angle M=\angle EFD\\AD = ED\end{cases}$
所以$\triangle ADM\cong\triangle EDF(AAS)$，
所以$EF = AM$，
所以$AB = EF$.

3. 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=CD，求∠C的度数。

答案： 3.解:$20^{\circ}$.

4. 如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D。求证：BC=AB+CD。

答案：
4.证明:方法一(截长法):如图①,在$BC$上取点$E$,使$BE = BA$,连接$DE$.
因为$BD$平分$\angle ABC$，
所以$\angle ABD = \angle EBD$.
在$\triangle ABD$和$\triangle EBD$中，
$\begin{cases}AB = EB\\\angle ABD = \angle EBD\\BD = BD\end{cases}$
所以$\triangle ABD\cong\triangle EBD(SAS)$，
所以$\angle BAC = \angle BED = 108^{\circ}$，
所以$\angle DEC = 72^{\circ}$.
因为$AB = AC$，所以$\angle C = \angle ABC = 36^{\circ}$，所以$\angle CDE = 72^{\circ}$，
所以$\angle CDE = \angle CED = 72^{\circ}$，
所以$CD = CE$，
所以$BC = BE + EC = AB + CD$.
　　　　
方法二(补短法):如图②，延长$BA$至点$E$，使$BE = BC$，连接$DE$.
因为$BD$平分$\angle ABC$，
所以$\angle ABD = \angle CBD$.
在$\triangle EBD$和$\triangle CBD$中，
$\begin{cases}EB = CB\\\angle EBD = \angle CBD\\BD = BD\end{cases}$
所以$\triangle EBD\cong\triangle CBD(SAS)$，
所以$DE = DC$，$\angle E = \angle C$.
因为$\angle BAC = 108^{\circ}$，
所以$\angle EAD = 72^{\circ}$，$\angle C = \angle ABC = \angle E = 36^{\circ}$，
所以$\angle EDA = \angle EAD = 72^{\circ}$，
所以$EA = ED$，所以$CD = DE = AE$，
所以$BC = BE = AB + AE = AB + CD$.
　　　　

5. 如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是6。

答案： 5.6